Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 27

Einheitswurzeln in Zahlbereichen

Eine Einheitswurzel in einem kommutativen Ring ${}R$ ist das gleiche wie eine Torsionseinheit, also ein Element ${}x\in R$ mit ${}x^{n}=1$ für ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Die Menge aller Einheitswurzeln bilden eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}R^{\times }$. Wir bezeichnen sie mit ${}\mu _{}{\left(R\right)}$. Ebenso bildet die Menge aller ${}n$-ten Einheitswurzeln eine Untergruppe, die wir mit ${}\mu _{n}{\left(R\right)}$ bezeichnen. Da eine ${}n$-te Einheitswurzel eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{n}-1$ ist, gibt es über einem Körper und damit auch über einem Integritätsbereich nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) maximal ${}n$ Nullstellen. Für einen Integritätsbereich ist also ${}\mu _{n}{\left(R\right)}$ eine endliche Gruppe mit höchstens ${}n$ Elementen. Nach Satz 9.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) handelt es sich um eine zyklische Gruppe. Wenn sie die Ordnung ${}n$ besitzt, so nennt man einen Erzeuger eine primitive Einheitswurzel. Für die abstrakte multiplikative geschrieben zyklische Gruppe mit ${}n$ Elementen schreiben wir ${}\mu _{n}$ und die Eigenschaft, dass ein Körper ${}K$ ${}n$ ${}n$-te Einheitswurzeln besitzt schreiben wir kurz als ${}\mu _{n}\subseteq K$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$.

Dann ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}=\mu _{}{\left(Q(R)\right)}$.

Beweis

Die Inklusion ${}\mu _{}{\left(R\right)}\subseteq \mu _{}{\left(Q(R)\right)}$ ist klar. Sei ${}q\in \mu _{}{\left(Q(R)\right)}$, sagen wir ${}q^{n}=1$. Da ${}q$ die Ganzheitsgleichung

${}X^{n}-1=0\,$

erfüllt, folgt aus der Normalität direkt, dass ${}q\in R$ gehört.

$\Box$

Diese Beobachtung kann man für Zahlbereiche anwenden. Wir werden im Folgenden die Aussagen für die Zahlbereiche formulieren, wobei die Argumente teilweise über die Quotientenkörper, also über endliche Erweiterungen von ${}\mathbb {Q}$, gehen, teilweise über den Zahlbereich selbst. Ohne die Voraussetzung normal ist die Aussage nicht richtig, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Wir betrachten den Ring

${}R=\mathbb {Z} [2{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]=K\,.$

Der Quotientenkörper von ${}R$ ist ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, ${}R$ ist nicht normal. In ${}R$ gibt es nur die Einheitswurzeln ${}1$ und ${}-1$, im Quotientenkörper gibt es dagegen die Einheitswurzeln ${}1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich, für den es zumindest eine reelle Einbettung gebe.

Dann ist die Gruppe der Einheitswurzeln ${}\mu _{}{\left(R\right)}$ gleich ${}\{1,-1\}$.

Beweis

Dies folgt direkt aus einer Inklusion ${}R\subseteq Q(R)\subseteq \mathbb {R}$, da es in ${}\mathbb {R}$ nur die beiden Einheitswurzeln ${}1$ und ${}-1$ gibt und da Einheitswurzeln unter einem Ringhomomorphismus auf Einheitswurzeln abgebildet werden.

$\Box$

In den komplexen Zahlen gibt es alle Einheitswurzeln. Die Kreisteilungskörper und Kreisteilungsringe zeigen, dass man Einheitswurzeln in endlichen Erweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ bzw. ${}\mathbb {Z}$ realisieren lassen. Die folgenden Aussagen zeigen, dass die Kreisteilungskörper im Wesentlichen durch ihre enthaltenen Einheitswurzeln bestimmt sind.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann enthält ${}K$ genau dann eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel, wenn für den ${}n$-ten Kreisteilungskörper ${}K_{n}\subseteq K$ gilt.

Beweis

Die eine Richtung ist klar. Für die Rückrichtung sei ${}\zeta \in K$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel. Dies definiert einen Einsetzungshomomorphismus

$\mathbb {Q} [X]/(X^{n}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .$

Somit gibt es nach Lemma 19.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) einen induzierten Ringhomomorphismus

$\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{d}\right)}\longrightarrow K$

mit einem Teiler ${}d$ von ${}n$. Doch dann gibt es auch einen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Q} [X]/(X^{d}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .$

Bei ${}d<n$ ist dies ein Widerspruch zur Ordnung von ${}\zeta$. Also ist ${}d=n$ und es gibt einen Ringhomomorphismus

$K_{n}=\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}\longrightarrow K.$

$\Box$

Lemma

Die Einheitswurzelgruppe des ${}n$-ten Kreisteilungskörpers ${}K_{n}$ ist

${}\mu _{}{\left(K_{n}\right)}=\mu _{n}\,$

bei ${}n$ gerade und

${}\mu _{}{\left(K_{n}\right)}=\mu _{2n}\,$

bei ${}n$ ungerade.

Beweis

Nach Konstruktion der Kreisteilungskörper ist klar, dass ${}K_{n}$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln enthält. Wenn ${}n$ ungerade und ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ist, so ist ${}-\zeta$ eine primitive ${}2n$-te Einheitswurzel und somit sind die Inklusionen ${}\supseteq$ klar. Es ist also noch zu zeigen, dass die Kreisteilungskörper keine weiteren Einheitswurzeln enthält. Dazu können wir annehmen, dass ${}n$ gerade ist. Es sei ${}\xi$ eine zusätzliche Einheitswurzel der Ordnung ${}m$. Wir können annehmen, dass ${}m$ gerade und ein echtes Vielfaches von ${}n$ ist, da die von ${}\xi$ und einer primitiven ${}n$-ten Einheitswurzel ${}\zeta$ erzeugte Untergruppe wieder endlich und zyklisch und ihre Ordnung ein Vielfaches der beiden Ordnungen sein muss. Aus ${}\mu _{m}\subseteq K_{n}$ folgt ${}K_{m}\subseteq K_{n}$ nach Lemma 27.4. Es ist ${}m=2^{r}p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ und ${}n=2^{s}p_{1}^{s_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$ mit ${}r\geq s\geq 1$ und ${}r_{j}\geq s_{j}\geq 1$. Da ein Exponent echt größer ist, ergibt sich ein Widerspruch zu Satz 17.10.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}$ endlich und zyklisch.

Beweis

Wir argumentieren in der endlichen Erweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K=Q(R)$, die den Grad ${}d$ habe. Wir behaupten zunächst, dass die Ordnungen in ${}\mu _{}{\left(K\right)}$ beschränkt ist. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, und sei ${}r_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine streng wachsende (und damit unbeschränkte) Folge von natürlichen Zahlen, die als Ordnungen von Elementen aus ${}\mu _{}{\left(K\right)}$ vorkommen. Dann gilt nach Lemma 27.4 für die Kreisteilungskörper

${}K_{r_{n}}\subseteq K\,.$

Für der Grad ${}d$ gilt dann unter Verwendung von Satz 17.10

${}d\geq \operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K_{r_{n}}={\varphi (r_{n})}\,.$

Wenn in den Primfaktorzerlegungen der Folgenglieder ${}r_{n}$ unendlich viele Primzahlen ${}p_{m}$ vorkommen, so ist

${}d\geq p_{m}-1\,.$

Wenn hingegen in den Primfaktorzerlegungen nur endlich viele Primzahlen vorkommen, so gibt es darin eine Teilfolge mit Primzahlpotenzen ${}p^{s_{k}}$ als Teiler mit ${}s_{k}\rightarrow \infty$. In diesem Fall ist ${}d\geq (p-1)p^{s_{k}-1}$. In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Endlichkeit von ${}d$. Die Endlichkeit der Gruppe folgt daher mit Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Die Zyklizität folgt aus Satz 9.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ der imaginär-quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$.

Dann stimmt die Einheitengruppe ${}R^{\times }$ mit der Einheitswurzelgruppe ${}\mu _{}{\left(R\right)}$ überein. Für diese gibt es die folgenden drei Möglichkeiten.

1. Bei ${}\triangle =-3$ ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} /(6)$.
2. Bei ${}\triangle =-4$ ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} /(4)$.
3. Bei ${}\triangle \leq -5$ ist ${}\mu _{}{\left(R\right)}=\{1,-1\}\cong \mathbb {Z} /(2)$.

Beweis

Wegen der expliziten Gestalt der Norm und Lemma 10.1 ist die Einheitengruppe endlich, stimmt also mit der Einheitswurzelgruppe überein. Es sei ${}A$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl ${}D\leq -1$. Bei ${}D=-1$ ist ${}A$ der Ring der Gaußschen Zahlen und es gibt die vier Einheiten ${}1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$, und es ist ${}\triangle =-4$ nach Lemma 9.9. Dies ist der einzige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}-4$. Bei ${}D=\triangle =-3$ liegt der Ring der Eisensteinzahlen vor, siehe Beispiel 7.4. Er ist zugleich der dritte und der sechste Kreisteilungsring und seine Einheitswurzelgruppe ist nach Lemma 27.5 gleich ${}\mathbb {Z} /(6)$. Es sei also die Diskriminante ${}\leq -5$. Die Norm von ${}a+b{\sqrt {D}}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ (mit ${}a,b\in \mathbb {Q}$) ist durch ${}a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert$ gegeben. Wenn das Element zum Ganzheitsring gehört, so sind bei ${}D=2,3\mod 4$ nach Satz 9.8 die Koeffizienten ${}a,b$ ganzzahlig und aus ${}\vert {D}\vert \geq 2$ folgt ${}b=0$ und aus Lemma 10.1 folgt ${}a=\pm 1$. Bei ${}D=1\mod 4$ sind ebenfalls nach Satz 9.8 die Koeffizienten ${}a,b$ ganzzahlige Vielfache von ${}1/2$ und aus ${}\vert {D}\vert \geq 7$ folgt wieder ${}b=0$ und ${}a=\pm 1$.

$\Box$

Zu einer kommutativen Gruppe ${}H$ bezeichnen wir die Menge der Automorphismen mit ${}\operatorname {Aut} (H)$. Dies ist selbst eine Gruppe mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Für die kommutative Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Gruppenhomomorphismus in sich durch das Bild des Erzeugers festgelegt, und ein Automorphismus liegt genau dann vor, wenn der Erzeuger auf einen Erzeuger abgebildet wird. Deshalb ist

${}\operatorname {Aut} {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,,$

einer Einheit ${}a$ rechts entspricht der Gruppenhomomorphismus ${}x\mapsto ax$. Für ${}\mu _{n}$, die multiplikativ geschriebene zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$, gilt entsprechend

${}\operatorname {Aut} {\left(\mu _{n}\right)}\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,,$

und der Einheit ${}a$ entspricht das Potenzieren ${}x\mapsto x^{a}$. Die Beschreibung der Galoisgruppe für Kreisteilungskörper aus Satz 17.11 kann man somit als einen Gruppenisomorphismus

${}\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\cong \operatorname {Aut} (\mu _{n})\,$

verstehen. Zwischen diesen beiden Gruppen besteht nun stets der folgende Zusammenhang.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung mit der Galoisgruppe ${}G$ und es sei

${}\mu _{}{\left(K\right)}=\mu _{n}\,$

die Einheitswurzelgruppe zu ${}K$.

Dann operiert ${}G$ in natürlicher Weise auf ${}\mu _{}{\left(K\right)}$, d.h. es gibt einen Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)})={\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times },\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )).$

Wenn eine Galoiserweiterung vorliegt, so ist diese Abbildung surjektiv.

Beweis

Nach Voraussetzung enthält ${}K$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln und damit ist ${}K_{n}\subseteq K$ nach Lemma 27.4. Insbesondere ist ${}\mu _{}{\left(K\right)}=\mu _{}{\left(K_{n}\right)}$. Die Abbildung

$\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)})\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$

ist nach Satz 17.11 ein Isomorphismus. Wenn ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ galoissch ist, so ist ${}K$ nach Korollar 16.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auch galoissch über ${}K_{n}$ und die ${}\mathbb {Q}$-Automorphismen lassen sich wegen Korollar 15.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) nach ${}K$ fortsetzen.

$\Box$

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