Kurs:Analysis/Teil I/41/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 4 | 2 | 2 | 5 | 5 | 2 | 6 | 4 | 5 | 6 | 2 | 4 | 8 | 3 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Eine
Verknüpfung
heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
- Der Binomialkoeffizient ist durch
definiert.
- Die Eulersche Zahl ist durch
definiert.
- Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.
- Zu zwei
Reihen
und
komplexer Zahlen
heißt die Reihe
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
- Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der
Limes
existiert.
Aufgabe (3 Punkte)
- Für jede natürliche Zahl
sei eine Aussage gegeben. Es gelte
- ist wahr.
- Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
- Es seien und Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
- Satzantwort
Für einen beliebigen Punkt
ist die Integralfunktion
differenzierbar und es gilt
für alle
.
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Es sei , , eine Familie von Mengen. Wir setzen
a) Zeige
b) Zeige, dass die Vereinigung disjunkt ist, dass also
für ist.
a) Wegen gilt . Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei . Dann gibt es ein zwischen und mit und damit auch ein minimales mit dieser Eigenschaft. Es ist also , aber für . Damit ist und insbesondere .
b) Sei und sagen wir . Es sei . Dann ist und für . Also ist insbesondere und damit auch . Also sind und disjunkt.
Aufgabe (2 Punkte)
In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei die Aussage, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese Pferde überhaupt die gleiche Farbe“. Analysiere diese Argumentation.
Lösung Pferde/Farbe/Induktion/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (2 Punkte)
Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von cm. Die Flaschenöffnung hat einen (inneren) Durchmesser von cm und die Flasche hat einen Durchmesser von cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht (gemessen in Zentimetern)?
Der Wasserinhalt in der Flasche ist
Diese Menge muss durch die Flaschenöffnung eingegangen sein, sodass sich die Bedingung
ergibt, wobei die Regenmengenhöhe ist. Daher ist
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise die allgemeine binomische Formel.
Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Es sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei eine reelle Folge und sei ein Element mit . Es gebe ein derart, dass
gelte für alle . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.
Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass
für alle gilt. Für gilt
Der rechte Faktor ist dabei (endliche geometrische Reihe) gleich . Wegen ist der Nenner wohldefiniert und ist , also kann man diesen Faktor nach oben durch abschätzen. Insgesamt haben wir also
Nach Aufgabe 5.28 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist eine Nullfolge und dies gilt auch für , da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein gegeben. Dann gibt es ein mit für und somit gilt für alle die Abschätzung
Aufgabe (2 Punkte)
Wir behaupten
Die Negationsabbildung ist streng fallend. Somit ist
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.
Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben
mit verschiedenen und führen Induktion über den Grad von . Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms mit
Damit ist insbesondere
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt oder . Nach Lemma 11.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) bedeutet dies, dass oder von geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus
und wir können auf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist
woraus sich
und somit
ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf bedeutet, dass in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu in und in für übereinstimmen und die Vielfachheit von sich um reduziert, dies aber auch beim Übergang von nach zutrifft, folgt die Aussage.
Aufgabe (4 Punkte)
Finde für die Funktion
eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .
ungefähr
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion
in einem Punkt .
Wenn differenzierbar ist, so setzen wir . Für die Funktion muss notwendigerweise
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
und hat den Wert . Dies bedeutet, dass in stetig ist.
Wenn umgekehrt und mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für die Beziehung
Da stetig in ist, muss auch der Limes links für existieren.
Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
- Bestimme die Nullstellen der Funktion.
- Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
- Bestimme die Extrema der Funktion.
- Es ist
Deshalb gibt es die beiden Nullstellen und .
- Wir arbeiten weiter mit der Faktorzerlegung
Für negatives sind beide Faktoren negativ, daher ist ihr Produkt positiv. Für ist der Faktor positiv und der Faktor negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ. Für sind beide Faktoren positiv und somit ist die Funktion in diesem Abschnitt positiv.
- Es ist
Die Nullstellen der Ableitung sind also und . Bei gibt es kein Extremum, da dort nach Teil (2) ein Übergang von positiv nach negativ stattfindet. Bei ziehen wir die zweite Ableitung heran, diese ist
und hat wegen
dort einen positiven Wert. Also liegt in ein lokales Minimum vor, das wegen der Überlegungen aus Teil (2) auch ein absolutes Minimum ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) anwenden und erhalten mit [[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Bestimme das Taylorpolynom zu vom Grad im Entwicklungspunkt .
Wir schreiben
es ist . Es ist
und insbesondere
Es ist
und insbesondere
Somit ist das Taylorpolynom vom Grad im Entwicklungspunkt gleich
Aufgabe (8 (2+4+2) Punkte)
Wir betrachten die Sinusfunktion
auf und den oberen Halbkreis (mit Radius ) oberhalb dieses Intervalls.
- Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als den Graphen einer Funktion .
- Zeige, dass
für alle gilt. Tipp: Betrachte die Situation für und für .
- Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.
- Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Für die Punkte auf dem Kreisbogen gilt
somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion
- Es ist
auf zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also
Beide Funktionen sind auf streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert . Für ist
Für vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist
und
Im angegebenen Bereich ist
die Funktion wächst also schneller als und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.
- Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius , also gleich
Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist
Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass auf die Differentialgleichung
nicht der Lösungsansatz für getrennte Variablen anwendbar ist.
Wir zeigen, dass es keine Produktzerlegung
mit Funktionen und geben kann. Nehmen wir an, es gibt eine solche Darstellung. Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle. Deshalb ist
oder
Im ersten Fall ist
für alle und im zweiten Fall ist
für alle . Beide Eigenschaften gelten aber für definitiv nicht.