Kurs:Analysis/Teil I/46/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	4	4	1	3	4	5	3	2	6	5	2	3	3	3	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

2. Eine Gruppe.
3. Das Infimum einer nichtleeren Teilmenge ${}M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Das Minimum der Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   wird im Punkt ${}x\in M$ angenommen.

5. Das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu einer ${}n$-mal differenzierbaren Funktion

   $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   im Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$.

6. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Lösung

1. Die Abbildung

   $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

   heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

2. Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

   $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

   heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

   1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

      $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

   2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

      $g\circ e=g=e\circ g.$

   3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

      $h\circ g=g\circ h=e.$

3. Eine untere Schranke ${}t$ von ${}M$ heißt das Infimum von ${}M$, wenn ${}t\geq s$ für alle unteren Schranken ${}s$ von ${}M$ gilt.
4. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ das Minimum annimmt, wenn

   $f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

5. Das Polynom

   $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

   heißt das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

6. Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu ${}f$ über ${}[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$.
2. Der Zwischenwertsatz.
3. Der Satz über partielle Integration.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte

   $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

   und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

   konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$.
2. Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=y$.
3. Es seien

   $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   stetig differenzierbare Funktionen.

   Dann gilt

   $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$

Aufgabe (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Lösung

Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

$\{1,2,\ldots ,9\}\times \{1,2,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.

Lösung

Die Bedingungen sind:

Für jedes

${}i=1,\ldots ,9\,$

ist die Abbildung

$\{1,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,\ldots ,9\},\,j\longmapsto a_{i,j},$

bijektiv.

Für jedes

${}j=1,\ldots ,9\,$

ist die Abbildung

$\{1,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,\ldots ,9\},\,i\longmapsto a_{i,j},$

bijektiv.

Für jedes Paar

${}0\leq r,s\leq 2\,$

ist die Abbildung

$\{3r+1,3r+2,3r+3\}\times \{3s+1,3s+2,3s+3\}\longrightarrow \{1,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$

bijektiv.

Aufgabe (3 Punkte)

Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit „ein Spüli“ ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt ${}0,005$ Spülies. Er muss ${}10$ große Teller mit einem Durchmesser von ${}30$ Zentimetern, ${}6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von ${}20$ Zentimetern und ${}4$ zylinderförmige Becher, die ${}10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von ${}6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch (man ignoriere die Dicke des Geschirrs)?

Lösung

Die (beidseitige) Fläche eines großen Tellers beträgt (in Quadratmeter)

${}2\cdot \pi \cdot 0,15^{2}=0,1413\,,$

die eines kleinen Tellers

${}2\cdot \pi \cdot 0,1^{2}=0,0628\,$

und die eines Bechers

${}2(\pi \cdot 0,03^{2}+2\cdot \pi \cdot 0,03\cdot 0,1)=2(0,0028+0,0188)=0,0432\,.$

Somit ist die zu spülende Gesamtfläche gleich

${}10\cdot 0,1413+6\cdot 0,0628+4\cdot 0,0432=1,9626\,.$

Für einen Quadratmeter braucht er ${}200$ Sekunden, deshalb braucht er insgesamt

${}1,9626\cdot 200=392,52\,$

Sekunden, also ungefähr sechs einhalb Minuten.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige

${}\prod _{k=2}^{n}{\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}={\frac {n+1}{2n}}\,$

durch vollständige Induktion (${}n\geq 2$).

Lösung

Induktionsanfang. Für ${}n=2$ steht links

${}1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}\,$

und rechts ebenfalls

${}{\frac {2+1}{4}}={\frac {3}{4}}\,.$

Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Gleichheit für ein bestimmtes ${}n$ gilt. Dann ist

${}{\begin{aligned}\prod _{k=2}^{n+1}{\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}&={\left(\prod _{k=2}^{n}{\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}\right)}\cdot {\left(1-{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)}\\&={\frac {n+1}{2n}}\cdot {\left(1-{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)}\\&={\frac {n+1}{2n}}\cdot {\frac {(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}}\\&={\frac {n+1}{2n}}\cdot {\frac {n^{2}+2n+1-1}{(n+1)^{2}}}\\&={\frac {n+1}{2n}}\cdot {\frac {n(n+2)}{(n+1)^{2}}}\\&={\frac {n+2}{2(n+1)}}\\&={\frac {(n+1)+1}{2(n+1)}}.\end{aligned}}$

Dies ist der rechte Ausdruck für ${}n+1$ und die Aussage ist bewiesen.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,$

durch Induktion nach ${}n$.

Lösung

Für ${}n=0$ steht einerseits ${}2^{0}=1$ und andererseits ${}1^{0}\cdot 1^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für ${}n$ bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und von Lemma 3.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))

${}{\begin{aligned}2^{n+1}&=2\cdot 2^{n}\\&=(1+1)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)+1\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}+1\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Finde eine natürliche Zahl ${}n$ derart, dass

${}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,$

ist.

Lösung

Man kann ${}n=7000$ nehmen. Es ist nämlich

${}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{7000}={\left(1+{\frac {1}{7}}\right)}^{7000}\geq 1+7000\cdot {\frac {1}{7}}=1+1000\geq 1000\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Für ${}n\geq 1$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit ${}1/n^{4}$) als

${}x_{n}:={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}={\frac {7-2{\frac {1}{n^{2}}}+5{\frac {1}{n^{4}}}}{4-5{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{3}}}-6{\frac {1}{n^{4}}}}}\,$

schreiben. Folgen vom Typ ${}a/n,\,a/n^{2},\,a/n^{3}$ und ${}a/n^{4}$ sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen ${}7$ und der Nenner gegen ${}4$, sodass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen ${}7/4\in \mathbb {Q}$ konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Lösung

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte ${}x,y$, ${}x\neq y$, gibt. Dann ist ${}d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten ${}\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$

und wegen der Konvergenz gegen ${}y$ gibt es ein ${}n_{0}'$ mit

$\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für ${}n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei ${}n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

${}d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne

${\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}.$

Lösung

Um die Brüche wegzukriegen, multiplizieren wir den Term mit ${}256$ und erhalten

${\left(4x-{\left({\sqrt {3}}+1\right)}\right)}^{2}{\left(4x-{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}\right)}^{2}-32x-4.$

Es ist

${}{\left(4x-{\left({\sqrt {3}}+1\right)}\right)}^{2}=16x^{2}-8{\left({\sqrt {3}}+1\right)}x+{\left({\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\,$

und

${}{\left(4x-{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}\right)}^{2}=16x^{2}-8{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}x+{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\,.$

Deren Produkt ist

${}{\begin{aligned}{\left(16x^{2}-8{\left({\sqrt {3}}+1\right)}x+{\left({\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\right)}{\left(16x^{2}-8{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}x+{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\right)}&=px^{4}+qx^{3}+rx^{2}+sx+t\\\end{aligned}}$

und die Koeffizienten sind

${}p=256\,.$

${}q=-128{\left({\sqrt {3}}+1-{\sqrt {3}}+1\right)}=-256\,,$

${}{\begin{aligned}r&=16{\left({\left({\sqrt {3}}+1\right)}^{2}+{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\right)}+64\cdot ({\sqrt {3}}+1)(-{\sqrt {3}}+1)\\&=16\cdot 8+64\cdot (-2)\\&=0,\end{aligned}}$

${}s=-8({\sqrt {3}}+1)(-{\sqrt {3}}+1){\left({\sqrt {3}}+1-{\sqrt {3}}+1\right)}=-8(-2)\cdot 2=32\,$

und

${}{\begin{aligned}t&={\left({\sqrt {3}}+1\right)}^{2}{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\\&=4.\end{aligned}}$

Der lineare Term hebt sich weg und somit ist der Gesamtausdruck gleich ${}x^{4}-x^{3}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne

$5^{\frac {2}{3}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Lösung

Es ist

${}x\leq 5^{\frac {2}{3}}\,$

genau dann, wenn

${}x^{3}\leq 5^{2}=25\,$

ist. Es ist

${}(2,9)^{3}=24,389<25\,$

und

${}3^{3}=27>25\,,$

also ist

${}2,9<5^{\frac {2}{3}}<3\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-5x-9.$

Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-5x-9\\&={\left(x-{\frac {5}{2}}\right)}^{2}-{\frac {25}{4}}-9\\&={\left(x-{\frac {5}{2}}\right)}^{2}-{\frac {61}{4}}.\end{aligned}}$

Daher ist die durch ${}x={\frac {5}{2}}$ gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation ${}f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen ${}c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte ${}c_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet

$f(c_{0}).$

Bei ${}f{\left(c_{0}\right)}\leq u$ setzt man

$a_{1}:=c_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(c_{0}\right)}>u$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=c_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung ${}f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei ${}c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Satz 7.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert ${}c$, also ${}f{\left(c\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}c$, also ${}f(c)\geq u$.  Also ist ${}f(c)=u$.

Aufgabe (5 Punkte)

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) ${}\ell =1,2$ verlaufen und eine Sprunghöhe von ${}h=0,2$ erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel ${}\alpha$ erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?

Lösung

Es sei ${}r$ der Radius des Kreises, ${}\alpha$ der Winkel im Bogenmaß und ${}x$ wie in der Skizze. Dann gelten die Beziehungen

${}1,2=r\alpha \,,$

${}x+0,2=r\,,$

und

${}x=r\cos \alpha \,.$

Daraus ergibt sich (${}\alpha =0$ ist sicher keine Lösung)

${}r={\frac {1,2}{\alpha }}\,,$

${}x=r-0,2={\frac {1,2}{\alpha }}-0,2\,$

und somit

${}{\frac {1,2}{\alpha }}-0,2={\frac {1,2}{\alpha }}\cos \alpha \,.$

Multiplikation mit ${}{\frac {\alpha }{1,2}}$ ergibt

${}1-{\frac {1}{6}}\alpha =\cos \alpha \,$

bzw.

${}F(\alpha )=\cos \alpha +{\frac {\alpha }{6}}-1=0\,.$

Diese Funktion ${}F(\alpha )$ hat für ${}\alpha =0$ eine Nullstelle, die für das Problem aber irrelevant ist. An der Stelle ${}0$ ist die Funktion streng wachsend und an der Stelle ${}\pi /2$ besitzt die Funktion einen negativen Wert, nach dem Zwischenwertsatz muss es also im Intervall ${}]0,\pi /2[$ eine Nullstelle geben, die man mit einer Intervallhalbierung berechnen kann.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$-te Ableitung von ${}X^{n}$ gleich ${}n!$ ist.

Lösung

Die nullte Ableitung von

${}x^{0}=1\,$

ist diese Funktion selbst, ferner ist ${}0!=1$, was den Induktionsanfang sichert. Der Induktionsschluss ergibt sich für ${}n\geq 1$ mit

${}{\left(x^{n}\right)}^{(n)}={\left(nx^{n-1}\right)}^{(n-1)}=n{\left(x^{n-1}\right)}^{(n-1)}=n((n-1)!)=n!\,.$

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

${}f(x)=x^{3}+5x\,.$

1. Zeige, dass ${}f$ bijektiv ist.
2. Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ im Nullpunkt.

Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)=3x^{2}+5\,.$

   Dies ist überall positiv und damit ist ${}f$ nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) streng wachsend und damit injektiv. Da ein Polynom ungeraden Grades voliegt ist ${}f$ aufgrund des Zwischenwertsatzes auch surjektiv.

2. Nach Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

   ${}{\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}\,.$

   Somit ist insbesondere

   ${}{\left(f^{-1}\right)}'(0)={\frac {1}{f'(f^{-1}(0))}}={\frac {1}{f'(0)}}={\frac {1}{5}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang ${}d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.

Lösung

Bei konstantem Umfang ${}d$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge ${}s\neq 0$ bestimmt, die andere Seitenlänge ist ${}{\frac {d}{2}}-s$ und der Flächeninhalt ist

${}s{\left({\frac {d}{2}}-s\right)}=s{\frac {d}{2}}-s^{2}\,.$

Beim Quadrat ist die Seitenlänge gleich ${}{\frac {d}{4}}$ und der Flächeninhalt gleich ${}{\frac {d^{2}}{16}}$. Es ist also

${}s{\frac {d}{2}}-s^{2}\leq {\frac {d^{2}}{16}}\,$

zu zeigen. Dies ist wegen

${}{\frac {d^{2}}{16}}-s{\frac {d}{2}}+s^{2}={\left(s-{\frac {d}{4}}\right)}^{2}\geq 0\,$

erfüllt.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Lösung

Ableiten unter Verwendung von [[Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt|Kurs:Analysis/Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] und Satz 18.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ergibt

${}{\begin{aligned}{\left(yf^{-1}(y)-F{\left(f^{-1}(y)\right)}\right)}'&=f^{-1}(y)+y{\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}-f{\left(f^{-1}(y)\right)}{\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\\&=f^{-1}(y).\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Lösungen zur Differentialgleichung

${}y'=\tan y\,$

für ${}y\in ]0,\pi [$.

Lösung

Es handelt sich um eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit

${}h(y)=\tan y={\frac {\sin y}{\cos y}}\,.$

Daher müssen wir eine Stammfunktion zu

${}{\frac {1}{h(y)}}={\frac {\cos y}{\sin y}}\,$

finden, eine solche ist ${}\ln \left(\sin y\right)$. Die Umkehrfunktion ist ${}\arcsin e^{z}$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

${}y(t)=\arcsin e^{t+c}\,$

mit ${}c\in \mathbb {R}$. Diese Lösungen sind auf ${}]-\infty ,-c[$ definiert.