Kurs:Analysis/Teil I/9/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	3	4	2	6	4	3	5	4	1	5	4	5	6	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Urbild zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ unter einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Eine wachsende Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper.
3. Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf eine Teilmenge ${}{\tilde {T}}$, ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$.

4. Die Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$ im Komplexen.
5. Eine konkave Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

   $y'=f(t,y).$

Lösung

1. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt

   $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$

   das Urbild von ${}T$ unter ${}F$.

2. Die Folge heißt wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.
3. Eine Abbildung

   ${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   heißt eine stetige Fortsetzung von ${}f$, wenn ${}{\tilde {f}}$ stetig ist und ${}{\tilde {f}}(x)=f(x)$ für alle ${}x\in T$ gilt.

4. Die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ von ${}z\in {\mathbb {C} }$ wird durch

   $b^{z}:=\exp(z\ln b)$

   definiert.

5. Die Funktion ${}f$ heißt konkav, wenn ihr Subgraph eine konvexe Menge ist.
6. Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion ${}f$ nicht von ${}y$ abhängt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
2. Der Zwischenwertsatz.
3. Die Taylor-Formel für eine ${}(n+1)$-mal differenzierbare Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ für einen inneren Punkt ${}a\in I$.

Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
2. Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=y$.
3. Zu jedem Punkt ${}x\in I$ gibt es ein ${}c\in I$ mit

   $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Lösung

Es sei ${}x$ der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

$y=62+{\frac {3}{4}}x$

und mit BC50 hat man die Kosten

$z=255+{\frac {1}{2}}x.$

Die Bedingung

$x\leq 62+{\frac {3}{4}}x$

führt auf

$x\leq 248.$

Die Bedingung

$x\leq 255+{\frac {1}{2}}x$

führt auf

$x\leq 510.$

Die Bedingung

$62+{\frac {3}{4}}x\leq 255+{\frac {1}{2}}x$

führt auf

${\frac {1}{4}}x\leq 255-62=193,$

also

$x\leq 772.$

Also ist für ${}x\leq 248$ keine Bahncard die günstigste Option, für ${}248\leq x\leq 772$ ist die BC25 die günstigste Option und für ${}x\geq 772$ ist die BC50 die günstigste Option.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Zahl

$6^{n+2}+7^{2n+1}$

ein Vielfaches von ${}43$ ist.

Lösung

Induktionsanfang. Für ${}n=0$ ist

${}6^{2}+7=43\,$

ein Vielfaches von ${}43$. Induktionsschritt. Es sei nun die Aussage für ${}n$ bewiesen und betrachten wir den Ausdruck für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} n+1} . Dieser ist

${}{\begin{aligned}6^{n+1+2}+7^{2(n+1)+1}&=6\cdot 6^{n+2}+7^{2}\cdot 7^{2n+1}\\&=6\cdot 6^{n+2}+(6+43)7^{2n+1}\\&=6{\left(6^{n+2}+7^{2n+1}\right)}+43\cdot 7^{2n+1}\\&=6\cdot 43\cdot s+43\cdot 7^{2n+1}\\&=43\cdot {\left(6\cdot s+7^{2n+1}\right)},\end{aligned}}$

wobei im vorletzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde (nämlich die Eigenschaft, dass $6^{n+2}+7^{2n+1}$ ein Vielfaches von ${}43$ ist). Daher ist diese Zahl ein Vielfaches von ${}43$.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}:={\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}\,$

in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Wir erweitern den Bruch mit ${}1/n^{3}$ ($n\geq 1$) und schreiben

${}{\begin{aligned}{\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}&={\frac {3{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}-7{\frac {n^{3}}{n^{3}}}+11{\frac {n}{n^{3}}}}{5{\frac {n^{3}}{n^{3}}}-4{\frac {n^{2}}{n^{3}}}-{\frac {\cos n}{n^{3}}}}}\\&={\frac {3{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}-7+11{\frac {1}{n^{2}}}}{5-4{\frac {1}{n}}-{\frac {\cos n}{n^{3}}}}}\end{aligned}}$

Dabei konvergieren ${}11{\frac {1}{n^{2}}}$ und ${}-4{\frac {1}{n}}$ gegen ${}0$ und wegen ${}-1\leq \sin n,\cos n\leq 1$ konvergieren auch ${}{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}$ und ${}{\frac {\cos n}{n^{3}}}$ gegen ${}0$. Somit konvergiert die Folge gegen ${}-{\frac {7}{5}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$, die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein ${}N\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass entweder alle ${}x_{n}$, ${}n\geq N$, positiv oder negativ sind.

Lösung

Da ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge ist, gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es zu jedem ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ ein ${}n\geq n_{0}$ mit ${}\vert {x_{n}}\vert >\epsilon$ gibt. Da es sich um eine Cauchy-Folge handelt, gibt es zu ${}\epsilon /2$ ein ${}k$ derart, dass für alle ${}m,n\geq k$ die Abschätzung ${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon /2$ gilt. Es sei nun ${}n\geq k$ so gewählt, dass ${}\vert {x_{n}}\vert >\epsilon$ ist.

Bei ${}x_{n}>0$ gilt für alle ${}m\geq n$ die Abschätzung

${}{\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\geq x_{n}-{\frac {\epsilon }{2}}\\&\geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{2}}\\&={\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}$

so dass für ${}m\geq n$ alle Folgenglieder positiv sind.

Bei ${}x_{n}<0$ gilt für alle ${}m\geq n$ die Abschätzung

${}{\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\leq x_{n}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&\leq -\epsilon +{\frac {\epsilon }{2}}\\&=-{\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}$

so dass für ${}m\geq n$ alle Folgenglieder negativ sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Reihe

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}10^{-i}$

mit ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$ und ${}\vert {a_{i}}\vert \leq 9^{i}$ für alle ${}i\in \mathbb {N} _{+}$ gegeben. Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert.

Lösung

Für die Reihenglieder ist

${}\vert {a_{i}10^{-i}}\vert \leq \vert {a_{i}}\vert 10^{-i}\leq 9^{i}10^{-i}={\left({\frac {9}{10}}\right)}^{i}\,.$

Man hat also die geometrische Reihe zu ${}{\frac {9}{10}}$ als konvergente Majorante und erhält die absolute Konvergenz der Reihe.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation ${}f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen ${}c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte ${}c_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet

$f(c_{0}).$

Bei ${}f{\left(c_{0}\right)}\leq u$ setzt man

$a_{1}:=c_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(c_{0}\right)}>u$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=c_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung ${}f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei ${}c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt ***** definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert ${}c$, also ${}f{\left(c\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}c$, also ${}f(c)\geq u$.  Also ist ${}f(c)=u$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\,a\neq 0,$

ein reelles Polynom vom Grad ${}2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.

Lösung

Die Tangente zu ${}x_{0}\in {\mathbb {K} }$ wird durch

${}t(x)=f'(x_{0})x+f(x_{0})-f'(x_{0})x_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\,$

beschrieben. Der Punkt ${}(x_{0},f(x_{0}))$ gehört zum Graphen und zur Tangente; wir müssen zeigen, dass kein weiterer Punkt zum Durchschnitt gehört. Nehmen wir an, es gäbe einen weiteren Punkt ${}x_{1}\neq x_{0}$ mit ${}f(x_{1})=t(x_{1})$. Dies bedeutet

${}ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=(2ax_{0}+b)(x_{1}-x_{0})+ax_{0}^{2}+bx_{0}+c\,.$

Dies führt auf

${}a(x_{1}^{2}-x_{0}^{2})+b(x_{1}-x_{0})=(2ax_{0}+b)(x_{1}-x_{0})\,.$

Division durch ${}x_{1}-x_{0}\neq 0$ ergibt

${}a(x_{1}+x_{0})+b=2ax_{0}+b\,$

und daraus erhält man

${}ax_{1}=ax_{0}\,.$

Wegen ${}a\neq 0$ folgt der Widerspruch

${}x_{1}=x_{0}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}},$

streng wachsend ist.

Lösung

Die Ableitung ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {e^{x}(x^{2}+1)-e^{x}(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}}e^{x}\\&={\frac {(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}e^{x}.\end{aligned}}$

Wegen ${}e^{x}>0$ und ${}(x-1)^{2}\geq 0$ und ${}(x-1)^{2}>0$ für ${}x\neq 1$ ist die Ableitung nichtnegativ und hat nur für ${}x=1$ eine Nullstelle. Die Funktion ist also nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) streng wachsend.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Lösung

Wenn ${}f$ differenzierbar ist, so setzen wir ${}s:=f'(a)$. Für die Funktion ${}r$ muss notwendigerweise

$r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}$

gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in {\mathbb {K} }\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in {\mathbb {K} }\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,$

und hat den Wert ${}0$. Dies bedeutet, dass ${}r$ in ${}a$ stetig ist.

Wenn umgekehrt ${}s$ und ${}r$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für ${}x\neq a$ die Beziehung

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x).$

Da ${}r$ stetig in ${}a$ ist, muss auch der Limes links für ${}x\rightarrow a$ existieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

eine Funktion, die die Funktionalgleichung

${}f(z+w)=f(z)\cdot f(w)\,$

für alle ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ erfülle und die in ${}0$ differenzierbar sei. Zeige, dass dann ${}f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung ${}f'(z)=\lambda f(z)$ mit einem festen ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ gilt.

Lösung

Bei ${}f(0)=0$ ist ${}f(z)=f(z+0)=f(z)f(0)=0$, so dass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen ${}\lambda$) erfüllt. Es sei also ${}f(0)\neq 0$. Dann ist ${}f(0)=1$ wegen ${}f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$. Der Differenzenquotient ist

${}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}={\frac {f(z)f(h)-f(z)}{h}}=f(z){\frac {f(h)-1}{h}}=f(z){\frac {f(h)-f(0)}{h}}\,.$

Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für ${}h\rightarrow 0$ gegen ${}f'(0)$. Also konvergiert der Differenzenquotient gegen ${}f(z)f'(0)$ und die Ableitungseigenschaft ist mit ${}\lambda =f'(0)$ erfüllt.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung von

${}f(x)=x\ln x\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$.

Lösung

Die Ableitung von ${}x\ln x$ ist nach der Produktregel gleich

${}x{\frac {1}{x}}+\ln x=1+\ln x\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zu einem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ sei die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv durch

${}x_{n+1}=e^{x_{n}}-1\,$

definiert. Entscheide, für welche ${}x_{0}$ die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Wir betrachten die Funktion ${}f(x)=e^{x}-1$. Es ist ${}f(0)=0$. Die Ableitung der Funktion ${}f$ ist ${}e^{x}$. Daher verläuft der Graph von ${}f$ für ${}x>0$ echt oberhalb der Diagonalen und für ${}x<0$ echt unterhalb der Diagonalen. Insbesondere ist ${}f(x)\geq x$, wobei Gleichheit nur bei

${}x=0\,$

gilt. Insbesondere ist also die rekursiv definierte Folge wachsend. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt für den Grenzwert ${}x$ einer solchen Folge (falls er existiert)

${}x=e^{x}-1\,.$

Diese Bedingung wird nur von ${}x=0$ erfüllt und dies ist der einzige mögliche Grenzwert. Bei einem Startwert ${}x_{0}>0$ kann die Folge wegen des Wachstumsverhaltens nicht konvergieren. Bei einem Startwert ${}x_{0}\leq 0$ ist

${}e^{x_{0}}-1\leq 0\,.$

Daher ist eine solche Folge wachsend und nach oben beschränkt und muss somit konvergieren, und zwar gegen den einzig möglichen Grenzwert ${}0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von ${}\sin ^{3}x$.

Lösung

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{x}\sin ^{3}t\,dt&=\int _{0}^{x}\sin t\cdot \sin ^{2}t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin t\cdot {\left(1-\cos ^{2}t\right)}\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin t\,dt-\int _{0}^{x}(\sin t\cos t)\cos t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin t\,dt-{\left({\frac {\sin ^{2}t}{2}}\cos t\right)}|_{0}^{x}-{\frac {1}{2}}{\left(\int _{0}^{x}\sin ^{3}t\,dt\right)}.\end{aligned}}$

Durch Multiplikation mit ${}2$ und Umstellen erhält man

${}{\begin{aligned}3\int _{0}^{x}\sin ^{3}t\,dt&=2\int _{0}^{x}\sin t\,dt-\sin ^{2}x\cos x\\&=-2\cos x-\sin ^{2}x\cos x.\end{aligned}}$

Also ist

$-{\frac {2}{3}}\cos x-{\frac {1}{3}}\sin ^{2}x\cos x$

eine Stammfunktion von ${}\sin ^{3}x$.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

a) Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei

$f(x)=R(x,{\sqrt[{k}]{x}})$

eine rationale Funktion in

${}x$ und in ${}{\sqrt[{k}]{x}}$. Man gebe direkt (ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung) eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu ${}f(x)$ auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.

b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (mit ${}x>1$)

${\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}.$

Lösung

a) Wir betrachten die Substitution ${}x=u^{k}$ bzw. ${}u={\sqrt[{k}]{x}}$. Damit ist

${}\int _{}^{}f(x)\,dx=\int _{}^{}R(x,{\sqrt[{k}]{x}})\,dx=\int _{}^{}R(u^{k},u)\cdot ku^{k-1}\,du\,.$

Dabei ist jetzt ${}R(u^{k},u)$ eine rationale Funktion in ${}u$, und bei der Multiplikation mit ${}ku^{k-1}$ bleibt dies eine rationale Funktion.

b) Mit der Substitution ${}x=u^{3}$ bzw. ${}u={\sqrt[{3}]{x}}$ ist

${}\int _{}^{}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}\,dx=\int _{}^{}{\frac {u+u^{3}}{u^{2}-u}}\cdot 3u^{2}\,du=\int _{}^{}{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du\,.$

Polynomdivision ergibt

${}u^{4}+u^{2}=(u-1)(u^{3}+u^{2}+2u+2)+2\,$

und daher ist dieses Integral gleich

${}\int _{}^{}{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du=\int _{}^{}3u^{3}+3u^{2}+6u+6+{\frac {6}{u-1}}\,du\,.$

Eine Stammfunktion ist daher

${\frac {3}{4}}u^{4}+u^{3}+3u^{2}+6u+6\cdot \ln(u-1).$

Somit ist

${\frac {3}{4}}x{\sqrt[{3}]{x}}+x+3({\sqrt[{3}]{x}})^{2}+6{\sqrt[{3}]{x}}+6\cdot \ln({\sqrt[{3}]{x}}-1)$

eine Stammfunktion von ${}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}$.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.

Lösung

Da ${}h$ stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist ${}h$ bzw. ${}{\frac {1}{h}}$ nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, so dass ${}H$ nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) streng monoton und daher nach Aufgabe 2.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) injektiv (also bijektiv auf sein Bild) ist.

Sei ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$ wie angegeben. Dann ist

${}{\begin{aligned}y'(t)&={\frac {G'(t)}{H'{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&={\frac {g(t)}{{\frac {1}{h}}{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&=g(t)\cdot h{\left(H^{-1}(G(t))\right)}\\&=g(t)\cdot h(y(t)),\end{aligned}}$

so dass in der Tat eine Lösung vorliegt.

Es sei nun ${}y(t)$ eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt

${}\int _{t_{1}}^{t_{2}}g(t)\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {y'(t)}{h(y(t))}}\,dt=\int _{y(t_{1})}^{y(t_{2})}{\frac {1}{h(z)}}\,dz\,,$

wobei wir die Substitution ${}z=y(t)$ angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen (mit den unteren Integralgrenzen ${}t_{1}$ bzw. ${}y(t_{1})$) bedeutet dies ${}G(t)=H(y(t))$, also ist ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$.