Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 6/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper, es sei eine Nullfolge in und eine beschränkte Folge in . Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 6.1.


Für die folgende Aufgabe brauchen wir den Begriff der Polynomfunktion.

Es sei ein Körper und seien . Eine Funktion

mit

heißt Polynomfunktion.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Polynomfunktion. Es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige durch Induktion über , dass dann auch die durch

definierte Folge konvergiert, und zwar gegen .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.


Aufgabe * Aufgabe 6.6 ändern

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe * Aufgabe 6.7 ändern

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.


Aufgabe Aufgabe 6.11 ändern

Sei eine nichtnegative reelle Zahl und . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

gegen konvergiert.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper und eine wachsende Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ein Supremum besitzt.


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es sei ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge heißt ein Abschnitt, wenn für alle mit und jedes mit auch ist.


Aufgabe Aufgabe 6.14 ändern

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ein Abschnitt ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in , der kein Intervall ist.

Zeige, dass in jeder Abschnitt ein Intervall ist.


Die folgende Aufgabe setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper und sei

der Vektorraum aller Folgen in (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

ein -Untervektorraum von ist.

b) Sind die beiden Folgen

linear unabhängig in ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Grenzwert der Folge

für .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und seien und Polynome mit . Man bestimme in Abhängigkeit von und , ob die durch

(für hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und sei ein Polynom mit und . Zeige, dass dann die durch

definierte Folge bestimmt gegen divergiert, falls ist, und bestimmt gegen divergiert, falls ist.

Man folgere, dass die Folgenglieder

für hinreichend groß definiert sind und gegen konvergieren.



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