Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 37/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Bilder und die Graphen der folgenden Kurven im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für verschiedene Kurven

deren Bilder (Bahnen) aber übereinstimmen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Kurve

in jedem Punkt .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Kurve

für jeden Punkt .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein euklidischer Vektorraum und . Zeige, dass die Abbildung

differenzierbar ist mit der Ableitung .


Aufgabe Aufgabe 37.6 ändern

Es sei ein reelles Intervall und ein euklidischer Vektorraum. Es seien

zwei in differenzierbare Kurven und es sei

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

  1. Die Summe

    ist in differenzierbar mit

  2. Das Produkt

    ist differenzierbar in mit

    Insbesondere ist für auch differenzierbar in mit

  3. Wenn nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion

    in differenzierbar mit


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien

zwei differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktionen

Es seien drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

a) Berechne und .

b) Berechne .

c) Zeige, dass ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist.

d) Skizziere für , und das Bild der Kurve für .


Cusp.png

Aufgabe Referenznummer erstellen

Das Bild der durch

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung erfüllt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei

Bestimme die Punkte , für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte zum Punkt minimal wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Kurve

a) Zeige, dass die Bildpunkte der Kurve die Gleichung

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt mit zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte und mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine differenzierbare Kurve und ein Punkt. Es sei derart, dass der Abstand (zwischen und einem Kurvenpunkt) in minimal werde. Zeige, dass senkrecht zu ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei der Graph der reellen Betragsfunktion. Man gebe eine differenzierbare Kurve

an, deren Bild genau ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Punkt und sei . Wir betrachten die Menge

Wir nennen zwei Kurven tangential äquivalent, wenn ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien endlich viele Punkte und sei . Zeige, dass es zu je zwei Punkten eine differenzierbare Kurve

mit und gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Kurve

a) Bestimme die Ableitung von in jedem Punkt .

b) Bestimme die Komponentenfunktionen von bezüglich der neuen Basis

von .

c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von Lemma 37.8.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Für welche Punkte ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve

zum Nullpunkt maximal, für welche minimal?


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

die einem Punkt den eindeutigen Schnittpunkt der durch die beiden Punkte und gegebenen Geraden mit dem Einheitskreis

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass differenzierbar ist. Ist injektiv, ist surjektiv?


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)Aufgabe 37.19 ändern

Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein „Doppel-Karussell“, bei dem sich ein Sitz alle Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle Sekunden um einen großen Kreis mit Radius Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand Meter.

a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang (in einem geeigneten Koordinatensystem) als eine differenzierbare Kurve.[1]

b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

c) Berechne die Geschwindigkeit (den Betrag des Geschwindigkeitsvektors) dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in der Situation von Aufgabe 37.19 die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe eine differenzierbare Kurve

an, deren Bild genau das Achsenkreuz ist.




Fußnoten
  1. Gefragt ist hier nach der mathematischen Überlagerung der beiden Bewegungen, d.h. die große Bewegung verdreht nicht das Koordinatensystem der kleinen Bewegung. Eine volle Umdrehung des kleinen Kreises liegt vor, wenn der Verbindungspfeil aus dem äußeren Drehmittelpunkt und dem Sitz wieder in die gleiche Himmelsrichtung zeigt. Bei der mechanischen Überlagerung, die vorliegt, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit des äußeren montierten Motors feststeht, sieht dies anders aus.


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