Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 51

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

mit einer stetigen Umkehrabbildung derart, dass nicht differenzierbar ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.


Aufgabe

Es sei

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Was besagt in der vorstehenden Aufgabe der Satz über die Umkehrabbildung, wenn differenzierbar ist?

Aufgabe

Es seien

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

Zeige:
  1. Die Abbildung ist differenzierbar.
  2. Das totale Differential von in ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen , die Ableitungen in nicht sind.
  3. ist genau dann auf einer offenen Umgebung von bijektiv, wenn die einzelnen in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.


Aufgabe

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass im Punkt lokal umkehrbar ist, und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt .


Aufgabe

Es seien und Polynome in zwei Variablen und

die zugehörige Abbildung. Wann besitzt in lokal eine Umkehrabbildung? Wie sieht in diesem Fall das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt aus?


Aufgabe *

Es sei

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei eine Stammfunktion zu . Es sei

mit

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu .

b) Zeige, dass man auf in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe *

Es sei

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl gibt mit

für alle . Zeige, dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.


Im Beweis des Umkehrsatzes wurde mit folgender Definition gearbeitet.


Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Dann nennt man

die Norm von .


Aufgabe

Begründe, warum die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen wohldefiniert ist.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor , , mit

gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist .
  4. Es ist .


Aufgabe

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von . Zeige, dass die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von existiert. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei

eine lineare Abbildung . Bestimme einen Vektor auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt und Radius , an dem die Funktion

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man konstruiere ein Beispiel, das zeigt, dass Lemma 51.2 ohne die Voraussetzung, dass mit je zwei Punkten auch die Verbindungsgerade zur Definitionsmenge gehört, nicht gilt.

(Tipp: Man denke daran, wie man flach auf einen steilen Berg kommt.)

Aufgabe (2 Punkte)

Seien und offene Mengen in euklidischen Vektorräumen und . Es sei

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential bijektiv ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt das totale Differential bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild offen in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung


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