Kurs:Analysis 3/19/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 4 4 4 2 4 11 11 3 3 5 3 10 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Mengenalgebra auf einer Menge .
  2. Eine Schrumpfung für eine Teilmenge .
  3. Die Fortsetzung eines äußeren Maßes

    auf einem Präring auf einer Menge .

  4. Ein Hausdorff-Raum .
  5. Eine differenzierbare Abbildung

    zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .

  6. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
  7. Eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit .
  8. Eine geschlossene Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .


Lösung

  1. Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist .
    2. Mit gehört auch das Komplement zu .
    3. Für je zwei Mengen ist auch .
  2. Eine Schrumpfung von ist eine Folge von Teilmengen , , in mit für alle und mit .
  3. Für eine beliebige Teilmenge definiert man

    und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes .

  4. Der topologische Raum heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten zwei offene Mengen und gibt mit und .
  5. Es seien und die Atlanten von und . Die Abbildung

    heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle und alle die Abbildungen

    stetig differenzierbar sind.

  6. Es seien und die Atlanten von und . Dann nennt man den Produktraum versehen mit den Karten

    (mit und ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten und .

  7. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Atlas heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
  8. Eine differenzierbare Differentialform auf heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion
    auf einem -endlichen Maßraum .
  2. Der Satz von Fubini für eine integrierbare Funktion

    auf -endlichen Maßräumen

    und .
  3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion .
  4. Der Brouwersche Fixpunktsatz.


Lösung

  1. Es sei ein -endlicher Maßraum und

    eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes die Abschätzung

  2. Die beiden Funktionen

    und

    sind fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt

  3. Es sei

    eine stetige Funktion und sei der Rotationskörper zu um die -Achse. Dann besitzt das Volumen

  4. Es sei
    eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im in sich. Dann besitzt einen Fixpunkt.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?


Lösung

a) Die Länge einer schrägen Zeltflächenhöhe ist

Die Gesamtfläche des Zeltdaches ist daher

b) Die Diagonale der Grundfläche hat die Länge , der Grundflächenmittelpunkt hat also zu den Eckpunkten den Abstand . Die Zelthöhe ist daher

Das Volumen des Tipis ist somit nach Fakt ***** gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.


Lösung

Zu jedem Punkt , gibt es eine offene Umgebung mit . Daher ist

offen und somit ist das Komplement abgeschlossen.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

auf einem -endlichen Maßraum .


Lösung

Es sei

eine messbare nichtnegative Funktion und . Es sei . Dann ist

(im Subgraphen), also


Aufgabe (11 (3+8) Punkte)

Es sollen drei Kugeln mit Radius straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.


Lösung

a) Die Gesamtpackung setzt sich aus zwei Halbkugeln mit Radius und einem Zylinder der Höhe über einem Kreis mit Radius zusammen. Daher ist das Volumen gleich

b) Wir wenden das Cavalieri-Prinzip an und betrachten den Querschnitt zur Höhe , . Der Kugelquerschnitt besteht aus drei Kugeln mit Radius , deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge bilden. Wir müssen den Flächeninhalt des durch die Folie gegebenen (abgerundeten) Querschnittsdreiecks bestimmen. Die Kantenlänge des zugehörigen spitzen Dreieckes ist . Daher ist der Flächeninhalt dieses Dreieckes gleich

Davon müssen wir die Spitzen (über den Kreisbögen) abziehen. Eine solche Spitze ergibt sich als Flächeninhalt des Vierecks, das durch Kreismittelpunkt, Dreiecksspitze und die beiden tangentialen Punkte gegeben ist, ohne einen Drittelkreis. Das ergibt . Der Flächeninhalt des abgerundeten Dreiecks ist also

Das Volumen der Dreieckspackung ist somit


Aufgabe (11 (4+7) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers

b) Zeige, dass das (von abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).


Lösung

a) Das Volumen ist

b) Die Ableitung der Volumenfunktion

ist

Ein Minimum kann nur vorliegen, wenn die Ableitung ist. Wir zeigen, dass dies nur für ein der Fall sein kann. Wegen der ersten Komponente muss sein. Wir zeigen, dass die zweite Komponente

ebenfalls nur eine Nullstelle besitzt, indem wir zeigen, dass streng wachsend ist. Die Ableitung von ist

Diese Funktion ist für und offenbar positiv, sie besitzt also genau ein Minimum, und zwar wegen

bei

Der Wert des Minimums von ist

Dies bedeutet, dass stets positiv ist und somit ist streng wachsend. Da ferner ein Polynom vom Grad ist, also für und für gilt, besitzt genau eine Nullstelle. Insgesamt besitzt also genau einen kritischen Punkt.

Wir müssen noch zeigen, dass in dem einzigen kritischen Punkt ein Minimum von vorliegt. Die Hesse-Matrix zu ist

Diese Matrix ist für jedes nach der oben durchgeführten Berechnung positiv definit, also liegt im kritischen Punkt ein Minimum vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Lösung

Aufgrund des Satzes von Fubini ist


Aufgabe (3 Punkte)

Ist die Abbildung

differenzierbar?


Lösung

Wir betrachten die Verknüpfung von Abbildungen

wobei

und die erste Projektion ist. Die trigonometrische Parametrisierung, die Inklusion (einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit) und die Projektion sind differenzierbar. Wäre differenzierbar, so müsste auch die Gesamtabbildung differenzierbar sein. Diese ist aber

Diese ist an der Stelle nicht differenzierbar, da dort die linksseitige Steigung und die rechtsseitige Steigung ist. Die Abbildung ist also nicht differenzierbar.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

an derart, dass auch die Tangentialabbildung

in jedem Punkt surjektiv ist.


Lösung

Wir schreiben den Torus als mit dem Einheitskreis . Die Abbildung

ist surjektiv, da es sich in den beiden Komponenten um die Standardparametrisierung des Einheitskreises handelt. Auch die Surjektivität der Tangentialabbildung lässt sich komponentenweise überprüfen, da der Tangentialraum einer Produktmannigfaltigkeit das Produkt der Tangentialräume ist. Die Ableitung von

ist , so dass dieser Bildvektor stets den eindimensionalen Tangentialraum des Einheitskreises im Bildpunkt aufspannt.


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es sei

die durch

a) Berechne die äußere Ableitung von .

b) Berechne die äußere Ableitung von .


Lösung

a) Es ist , und zwar ist nach der Quotientenregel

b) Die äußere Ableitung von ist .


Aufgabe (10 (2+6+2) Punkte)

Wir betrachten die -Differentialform

auf der Einheitskugel .

a) Zeige, dass das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.


Lösung

a) Es ist

wobei wir verwendet haben, dass sich das Vorzeichen bei der Vertauschung von Faktoren im Dachprodukt ändert.

b) Für einen Punkt und zwei orthonormale, (zusammen mit ) die Orientierung repräsentierende Tangentialvektoren und ist nach Fakt *****


Die Determinante eines die Orientierung repräsentierenden Orthonormalsystems ist aber . Also erfüllt die eingeschränkte Differentialform die Eigenschaft, die die Standardvolumenform charakterisiert.

c) Die Oberfläche der Kugel ist unter Verwendung von a), b), des Satzes von Stokes und des Kugelvolumens gleich