Kurs:Analysis 3/8/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 5 0 5 3 3 9 6 0 5 7 0 0 49




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Zwei homöomorphe topologische Räume und .
  2. Das Gitter und das Gittermaß zum Gitterpunktabstand auf dem .
  3. Das erzeugte Parallelotop zu linear unabhängigen Vektoren in einem reellen Vektorraum .
  4. Der Tangentialraum in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
  6. Die äußere Ableitung zu einer stetig differenzierbaren Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .


Lösung

  1. Zwei topologische Räume und heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

    gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

  2. Die Menge

    nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand . Das durch

    für definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand .

  3. Man nennt

    das von den erzeugte Parallelotop.

  4. Der Tangentialraum besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
  5. Zwei Basen und heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
  6. Die äußere Ableitung von wird lokal auf einer Karte, auf der die Gestalt

    besitzt, durch

    definiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Produktsatz für Maße.
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung

  1. Es seien - endliche Maßräume gegeben. Dann gibt es genau ein (-endliches) Maß auf der Produkt-- Algebra , das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert
    besitzt.
  2. /Fakt
  3. /Fakt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine messbare Teilmenge und es sei

eine surjektive lineare Abbildung derart, dass für alle die Menge abzählbar sei. Zeige


Lösung Teilmenge/R^n/Projektion mit abzählbaren Fasern/0/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius cm, der Topf sei cm hoch und auf die Höhe von cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?


Lösung

a) Das Wasser steigt um cm, daher ist das Volumen der Kartoffel gleich

(in Kubikzentimetern).

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche des Topfes), die Produktformel für das Maß einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen angewendet.

c) Wegen ist die Kartoffel volumengleich zu einem Würfel, dessen Kantenlänge größer als cm ist. Die Kartoffel ist also ziemlich groß.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine integrierbare Funktion. Zeige, dass es zu jedem ein derart gibt, dass

ist


Lösung

Wir können annehmen. Es ist eine reelle Zahl und die Bälle schöpfen aus und somit schöpfen die Subgraphen zu diesen Bällen den gesamten Subgraphen aus, wobei für nach Fakt ***** gegen konvergiert. Die Differenz zu wird also beliebig klein, und diese ist gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

paarweise nicht homöomorph sind.


Lösung

Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des ist der Einheitskreis kompakt (Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade und sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von sind. Also ist .

Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem Zwischenwertsatz folgt. Dagegen ist nicht zusammenhängend, da man

schreiben kann, so dass man eine sowohl offene als auch abgeschlossene nichtleere Teilmenge erhält. Also ist .


Aufgabe (9 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit die Dimension besitzt.


Lösung

Es sei ein Punkt und eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte

wobei die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius sei und wobei gelte. Für betrachten wir

Es ist also die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt und Radius , ist darin der durch definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält aus , indem man zusätzlich noch setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen

vor

( besteht aus den beiden Punkten ). Wir fassen als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung

auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist

Der Rang dieser Matrix ist nur bei kleiner als , ein solcher Punkt liegt also nicht auf . Das bedeutet, dass die Abbildung in der Faser regulär ist, so dass aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von der Dimension ist.

Wir setzen nun für und . Da die kompakt sind, sind die auch abgeschlossene Teilmengen in . Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von .


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Menge

eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Lösung

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

Die Menge ist die Faser von über . Es ist

Diese Ableitung ist nur bei gleich , und dies ist kein Punkt von , so dass in jedem Punkt von regulär ist. Daher liegt nach dem Satz über implizite Abbildungen eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vor.

Als Faser einer stetigen Abbildung ist eine abgeschlossene Teilmenge von . Ferner ist beschränkt. Für ist nämlich , da andernfalls wäre. Dies impliziert die Kompaktheit.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Berechne die Matrix der Abbildung

im Punkt bezüglich einer geeigneten Basis.


Lösung

Die Jacobimatrix von ist allgemein

Für den Punkt liegt daher die Jacobimatrix

vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung

bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung

bezüglich der Basen , (links) und (rechts). Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist

und

Die beschreibende Matrix ist also


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Zeige, dass es eine Mannigfaltigkeit mit Rand gibt, deren Rand diffeomorph zur -dimensionalen Sphäre ist und derart, dass und zueinander diffeomorph sind.


Lösung

Es sei ein offenes Kartengebiet mit der Karte

Wir können davon ausgehen, dass der Nullpunkt ist und das der offene Ball mit Radius ist. Es sei

ein Diffemorphismus, der auf die Identität ist und der auf abbildet. Eine solche Abbildung erhält man, wenn man mit der Funktion

mit

die Punkte streckt. Dabei kann man das Bild des Diffeomorphismus , also , als

auffassen, wobei die größere Menge eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand ist. Es sei die Mannigfaltigkeit, die entsteht, wenn man durch ersetzt. Die Sphäre wird dabei zum Rand von . Den Diffeomorphismus man man zu einem Diffeomorphismus

fortsetzen, da auf dem offenen Übergang die Identität vorliegt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung