Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 15

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring, ${}M$ ein graduierter Modul über ${}R$ und ${}{\widetilde {M}}$ die zugehörige Modulgarbe auf dem Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein homogenes Ideal. Zeige, dass durch

${}\Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}_{\ell }={\left\{s\in \Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}\mid {\text{ es gibt eine offene Überdeckung }}U=\bigcup _{i\in I}D(f_{i}){\text{ mit }}f_{i}{\text{ homogen derart, dass }}s\in M_{f_{i}}{\text{ den Grad }}\ell {\text{ besitzt}}\right\}}\,$

eine Graduierung auf ${}\Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}$ gegeben ist, für die die natürlichen Restriktionshomomorphismen homogen sind.

Aufgabe

Man mache sich anhand von ${}R=K[X]$ und ${}f=X+1$ klar, dass es keine Graduierung auf der Nenneraufnahme ${}K[X]_{X+1}$ gibt, die die Standardgraduierung auf dem Polynomring in sinnvoller Weise fortsetzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und ${}M$ ein graduierter Modul über ${}R$. Zeige, dass die Zuordnung

$U=D_{+}({\mathfrak {a}})\longmapsto \operatorname {colim} _{U\subseteq D_{+}(f)}\,(M_{f})_{0}$

eine Prägarbe von kommutativen Gruppen auf ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ ist, deren Vergarbung mit ${}{\widehat {M}}$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und ${}M$ ein graduierter Modul über ${}R$. Zeige, dass die zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Modulgarbe ${}{\widehat {M}}$ auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ durch

${}\Gamma {\left(U,{\widehat {M}}\right)}={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{({\mathfrak {p}})}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es homogene Elemente }}b\in R{\text{ und }}t\in M{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D_{+}(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {t}{b}}{\text{ in }}M_{({\mathfrak {q}})}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D_{+}(b)\right\}}\,$

gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein integrer ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und ${}M=R_{H}$ die Nenneraufnahme zu allen homogenen Elementen vom Grad ${}\neq 0$. Zeige, dass ${}{\widehat {M}}$ der Funktionenkörper des integren Schemas ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]/{\mathfrak {a}}$ ein standard-graduierter Ring und

${}\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{d}\right)\in V{\left({\mathfrak {a}}\right)}={{\mathbb {A} }_{K}^{d+1}}\,$

ein ${}K$-Punkt ${}\neq 0$ von ${}R$ mit dem zugehörigen homogenen Primideal ${}{\mathfrak {p}}={\left(a_{i}X_{j}-a_{j}X_{i},\,\right)}$, das ein abgeschlossener Punkt in ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}=V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}$ ist. Zeige, dass ${}{\widehat {R/{\mathfrak {p}}}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ (und auf ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$) ist, deren Träger gleich ${}\{{\mathfrak {p}}\}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$. Zeige, dass nicht isomorphe graduierte ${}R$- Moduln ${}M$ und ${}N$ zu isomorphen ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Moduln ${}{\widehat {M}}$ und ${}{\widehat {N}}$ führen können.

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]/{\mathfrak {a}}$ mit einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ und sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}$. Zeige ${}i_{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\widehat {R}}$ auf dem ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}\mathbb {Z}$- graduierten ${}R$- Moduln mit homogenen Homomorphismen. Zeige, dass in jeder Stufe eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L_{k}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{k}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N_{k}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von ${}R_{0}$-Moduln vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und seien ${}L,M,N$ ${}\mathbb {Z}$- graduierte ${}R$- Moduln mit homogenen Homomorphismen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ und ${}\psi \colon M\rightarrow N$. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}R_{+}\not \subseteq {\mathfrak {p}}$ sei die Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,M_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}\,N_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

exakt. Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widehat {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widehat {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widehat {N}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring. Zeige, dass der verschobene ${}R$- Modul ${}R(n)$ nur bei ${}n=0$ ein graduierter Ring ist.

Aufgabe

Man gebe eine explizite Basis für ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(3)\right)}$ über einem Körper ${}K$ an und man bestimme die Dimension davon.

Aufgabe

Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring ${}R$. Zeige, dass für die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{Y}(\ell )$ die Beziehung ${}{\mathcal {O}}_{Y}(\ell )\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{Y}(m)\cong {\mathcal {O}}_{Y}(\ell +m)$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring ${}R$. Zeige, dass für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {O}}_{Y}(\ell ),{\mathcal {O}}_{Y}(m)\right)}\cong {\mathcal {O}}_{Y}(m-\ell )$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring ${}R$. Zeige, dass die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{Y}(\ell )$ zu ${}\ell \leq 0$ sich als Idealgarbe auf ${}Y$ realisieren lassen. Zeige ferner, dass es hierfür im Allgemeinen mehrere Möglichkeiten gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und ${}M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Modul über ${}R$, der endlich erzeugt sei. Zeige, dass ${}M$ auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt wird und dass es einen surjektiven homogenen Modulhomomorphismus der Form

$\bigoplus _{i=1}^{k}R(-d_{i})\longrightarrow M$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein Schema. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

1. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ wird von globalen Schnitten erzeugt.
2. Ein quasikohärenter Modul ${}{\mathcal {M}}$ wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen surjektiven Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}^{(I)}\rightarrow {\mathcal {M}}$ gibt.
3. Auf einem affinen Schema wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt.
4. Wenn ${}{\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird und ${}{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ surjektiv ist, so wird auch ${}{\mathcal {N}}$ von globalen Schnitten erzeugt.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$ über einem kommutativen Ring ${}R$ die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(k)$ bei ${}k\geq 0$ von globalen Schnitten erzeugt werden und bei ${}k<0$ und ${}d\geq 1$ nicht.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein Schema und ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}X$. Zeige, dass ${}{\mathcal {M}}$ genau dann von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine offene affine Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Schnitte ${}s_{j}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ zu ${}j\in J$ derart gibt, dass die Restriktionen ${}\rho _{U_{i}}(s_{j})\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}$ ein ${}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$- Modulerzeugendensystem von ${}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring ${}R$. Zeige, dass die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{Y}(\ell )$ zu ${}\ell \geq 0$ von globalen Schnitten erzeugt werden.