Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 15

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Aufgabe

Es seien und lokal freie Garben auf einem beringten Raum vom Rang bzw. . Zeige, dass die direkte Summe lokal frei vom Rang ist.


Aufgabe

Es sei eine lokal freie Garbe vom Rang auf einem beringten Raum . Zeige, dass die duale Garbe ebenfalls lokal frei vom Rang ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine lokal freie Garbe auf einem beringten Raum in natürlicher Weise isomorph zu ihrem Bidual ist.


Aufgabe

Es seien und lokal freie Garben auf einem beringten Raum. und sei ein surjektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass der Kern ebenfalls lokal frei ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Rang von lokal freien Garben auf einem beringten Raum additiv für kurze exakte Sequenzen ist. Dies bedeutet, dass wenn eine kurze exakte Sequenz

von lokal freien Garben vorliegt, dass dann

ist.


Aufgabe

Es seien und lokal freie Garben auf einem beringten Raum vom Rang bzw. . Zeige, dass das Tensorprodukt lokal frei vom Rang ist.


Aufgabe

Es seien und lokal freie Garben auf einem beringten Raum und sei ein injektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass die Quotientengarbe im Allgemeinen nicht lokal frei ist.


Aufgabe

Es sei ein kohärenter Modul auf einem noetherschen Schema . Es sei . Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist lokal frei vom Rang .
  2. Für jeden Punkt ist der -Modul frei vom Rang .


Aufgabe

Es sei ein noethersches integres Schema und sei ein kohärenter Modul auf . Zeige, dass es eine offene nichtleere Teilmenge derart gibt, dass frei ist.


Aufgabe

Es sei ein noethersches Schema und sei ein Modulhomomorphismus von kohärenten Moduln und auf . Es sei ein Punkt derart, dass ein Isomorphismus ist. Zeige, dass es eine offene Umgebung derart gibt, dass ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein flacher -Modul. Es sei eine -Algebra. Zeige, dass ein flacher -Modul ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zeige, dass genau dann ein projektiver Modul, wenn es einen weiteren Modul derart gibt, dass die direkte Summe frei ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Produktring. Zeige, dass jeder -Modul projektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen artinschen Ring und einen endlich erzeugten -Modul , der nicht projektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass es zu dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

keinen Gruppenhomomorphismus

mit gibt. Folgere, dass der -Modul nicht projektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein projektiver -Modul. Es sei ein multiplikatives System. Zeige, dass ein projektiver -Modul ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein projektiver -Modul. Es sei eine -Algebra. Zeige, dass ein projektiver -Modul ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und . Es sei

die zugehörige Syzygiengarbe auf . Man gebe explizite Trivialisierungen für an.


Aufgabe

Sei ein -graduierter Ring und homogene Elemente vom Grad . Das von den erzeugte Ideal und das irrelevante Ideal haben das gleiche Radikal. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es liegt eine kurze exakte Sequenz

    von graduierten -Moduln mit homogenen Homomorphismen vor.

  2. Auf liegt eine kurze exakte Sequenz

    von lokal freien Garben vor.

  3. Auf ist die Einschränkung der lokal freien Garbe isomorph zu einer direkten Summe von getwisteten Strukturgarben.


Aufgabe

Es sei eine lokal freie Garbe auf einem beringten Raum. Zeige, dass die Determinantengarbe invertierbar ist.


Aufgabe

Es sei eine lokal freie Garbe auf einem beringten Raum mit der Dualgarbe . Zeige, dass für die Determinantengarben die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein beringter Raum und sei

eine direkte Summe von invertierbaren Garben. Zeige


Aufgabe

Zeige, dass in der Situation von Aufgabe 15.19 die Determinantengarbe der lokal freien Garbe auf gleich

ist.


Ein Modul, der außer keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.



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