Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 15

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Aufgabe

Es sei ein -graduierter Ring, ein graduierter Modul über und die zugehörige Modulgarbe auf dem Spektrum . Es sei ein homogenes Ideal. Zeige, dass durch

eine Graduierung auf gegeben ist, für die die natürlichen Restriktionshomomorphismen homogen sind.


Aufgabe

Man mache sich anhand von und klar, dass es keine Graduierung auf der Nenneraufnahme gibt, die die Standardgraduierung auf dem Polynomring in sinnvoller Weise fortsetzt.


Aufgabe

Es sei ein -graduierter Ring und ein graduierter Modul über . Zeige, dass die Zuordnung

eine Prägarbe von kommutativen Gruppen auf ist, deren Vergarbung mit übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein -graduierter Ring und ein graduierter Modul über . Zeige, dass die zugehörige -Modulgarbe auf durch

gegeben ist.


Aufgabe

Es sei ein integrer -graduierter Ring und die Nenneraufnahme zu allen homogenen Elementen vom Grad . Zeige, dass der Funktionenkörper des integren Schemas ist.


Aufgabe

Es sei ein standard-graduierter Ring und

ein -Punkt von mit dem zugehörigen homogenen Primideal , das ein abgeschlossener Punkt in ist. Zeige, dass ein quasikohärenter Modul auf (und auf ) ist, deren Träger gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein -graduierter Ring und . Zeige, dass nicht isomorphe graduierte -Moduln und zu isomorphen -Moduln und führen können.


Aufgabe

Es sei mit einem homogenen Ideal und sei . Zeige auf dem .


Aufgabe

Es sei ein -graduierter Ring und sei

eine kurze exakte Sequenz von -graduierten -Moduln mit homogenen Homomorphismen. Zeige, dass in jeder Stufe eine kurze exakte Sequenz

von -Moduln vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein -graduierter Ring und seien -graduierte -Moduln mit homogenen Homomorphismen und . Für jedes Primideal mit sei die Sequenz

exakt. Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz

auf vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein -graduierter Ring. Zeige, dass der verschobene -Modul nur bei ein graduierter Ring ist.


Aufgabe

Man gebe eine explizite Basis für über einem Körper an und man bestimme die Dimension davon.


Aufgabe

Es sei das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring . Zeige, dass für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung gilt.


Aufgabe

Es sei das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring . Zeige, dass für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung gilt.


Aufgabe

Es sei das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring . Zeige, dass die getwisteten Strukturgarben zu sich als Idealgarbe auf realisieren lassen. Zeige ferner, dass es hierfür im Allgemeinen mehrere Möglichkeiten gibt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer -graduierter Ring und ein -graduierter Modul über , der endlich erzeugt sei. Zeige, dass auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt wird und dass es einen surjektiven homogenen Modulhomomorphismus der Form

gibt.


Aufgabe

Es sei ein Schema. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

  1. Die Strukturgarbe wird von globalen Schnitten erzeugt.
  2. Ein quasikohärenter Modul wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen surjektiven Modulhomomorphismus gibt.
  3. Auf einem affinen Schema wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt.
  4. Wenn von globalen Schnitten erzeugt wird und surjektiv ist, so wird auch von globalen Schnitten erzeugt.


Aufgabe

Zeige, dass auf dem projektiven Raum über einem kommutativen Ring die getwisteten Strukturgarben bei von globalen Schnitten erzeugt werden und bei und nicht.


Aufgabe

Es sei ein Schema und ein quasikohärenter Modul auf . Zeige, dass genau dann von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine offene affine Überdeckung und Schnitte zu derart gibt, dass die Restriktionen ein -Modulerzeugendensystem von bilden.


Aufgabe

Es sei das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring . Zeige, dass die getwisteten Strukturgarben zu von globalen Schnitten erzeugt werden.



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