Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 14

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Zeige

${}{\widetilde {\mathfrak {a}}}{|}_{D({\mathfrak {a}})}\cong {\mathcal {O}}_{X}{|}_{D({\mathfrak {a}})}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein ${}R$- Modul über einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}f\in R$. Zeige

${}{\widetilde {M}}{|}_{D(f)}\cong {\widetilde {M_{f}}}\,,$

wobei rechts die Modulgarbe zum ${}R_{f}$-Modul ${}M_{f}$ steht.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Primideal mit ${}M_{\mathfrak {p}}=0$. Zeige, dass es ein ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ gibt mit ${}M_{f}=0$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$- Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten ${}R$- Moduln. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus ${}\varphi \colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ surjektiv ist. Zeige, dass es ein ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ derart gibt, dass ${}\varphi \colon M_{f}\rightarrow N_{f}$ surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$- Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten ${}R$- Moduln. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus ${}\varphi \colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ injektiv ist. Zeige, dass es ein ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ derart gibt, dass ${}\varphi \colon M_{f}\rightarrow N_{f}$ injektiv ist.

Aufgabe

Zeige anhand von ${}R=\mathbb {Z}$ und ${}M=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$, dass die Aussagen aus Aufgabe 14.3, Aufgabe 14.4 und Aufgabe 14.5 ohne die Vorausssetzung der endlichen Erzeugtheit nicht stimmen.

Aufgabe

Sei ${}K$ ein Körper,

${}R=K[X_{n},Y_{n},n\in \mathbb {N} ]/(X_{n}Y_{n},\,n\in \mathbb {N} )\,$

und ${}{\mathfrak {p}}={\left(X_{n},\,n\in \mathbb {N} \right)}\subseteq R$.

1. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist.
2. Zeige ${}{\mathfrak {p}}_{\mathfrak {p}}=0$.
3. Zeige ${}{\mathfrak {p}}_{f}\neq 0$ für ${}f\notin {\mathfrak {p}}$.
4. Zeige, dass

   $\varphi \colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}$

   lokalisiert in ${}{\mathfrak {p}}$ injektiv (also auch bijektiv) ist, aber keine Nenneraufnahme an einem einzigen Element ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ injektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Zeige, dass ${}{\widetilde {Q(R)}}$ eine konstante Garbe auf dem Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M,N$ seien ${}R$- Moduln. Zeige

${}{\widetilde {\operatorname {Hom} {\left(M,N\right)}}}\cong {{\mathcal {H}}om}{\left({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}U={\left({\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ die punktierte affine Ebene. Man gebe ein Beispiel für globale Schnitte ${}s_{1},s_{2}\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass ${}(s_{1},s_{2})$ nicht das Einheitsideal ist, dass aber der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{U}^{2}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U}$, ${}e_{i}\longmapsto s_{i}$, surjektiv ist.

Aufgabe

Wir betrachten zu ${}R=K[X,Y]$ die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R^{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(X,Y)={\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

wobei hinten die Standardvektoren auf die Idealerzeuger gehen und vorne die ${}1$ auf ${}(Y,-X)$ abgebildet wird. Dies führt nach Lemma 14.9 zu einer exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Es sei ${}U=D(X,Y)$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es ist ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}\right)}=R$.
2. Es ist ${}\Gamma {\left(U,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\right)}=R$.
3. Die Auswertung der exakten Garbensequenz auf ${}U$ ist

   $0\longrightarrow R\longrightarrow R^{2}\longrightarrow R,$

   wobei die hintere Abbildung nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$ mit der zugehörigen kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Interpretiere die entsprechende kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {R}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {R/I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

auf dem Spektrum von ${}R$. Auf welchen offenen Mengen und in welchen Punkten werden die Objekte (Auswertungen bzw. Halme) zu ${}0$ und die Homomorphismen zu Isomorphismen?

Aufgabe

Es sei ${}\theta \colon A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}A$ und ${}B$ und sei ${}\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(B\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Es sei ${}N$ ein ${}B$- Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${}{\widetilde {N}}$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(B\right)}$. Zeige

${}\varphi _{*}({\widetilde {N}})={\widetilde {N'}}\,,$

wobei ${}N'$ einfach der ${}B$-Modul ${}N$, aufgefasst als ${}A$-Modul, ist.

Aufgabe

Es sei ${}\theta \colon A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}A$ und ${}B$ und sei ${}\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(B\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Es sei ${}M$ ein ${}A$- Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(A\right)}$. Zeige

${}\varphi ^{*}({\widetilde {M}})={\widetilde {M\otimes _{A}B}}\,$

auf ${}\operatorname {Spek} {\left(B\right)}$.

Die folgende Aufgabe beschreibt die ringtheoretische Version zu Lemma Anhang 4.3. Zusammen mit den beiden vorstehenden Aufgaben ergibt sie wiederum die Spektrumsversion dieser Aussage.

Aufgabe

Es sei ${}\theta \colon A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}A$ und ${}B$. Es sei ${}M$ ein ${}A$- Modul und ${}N$ ein ${}B$-Modul. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenisomorphismus

${}\operatorname {Hom} _{B}{\left(M\otimes _{A}B,N\right)}=\operatorname {Hom} _{A}{\left(M,N'\right)}\,$

gibt, wobei ${}N'$ den ${}B$-Modul ${}N$, aufgefasst als ${}A$-Modul, bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Zeige ${}{\mathcal {M}}\cong {\widetilde {M}}$ für einen ${}R$- Modul ${}M$.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ quasikohärente Moduln auf einem Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass dann auch die direkte Summe ${}{\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ wieder quasikohärent ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ kohärente Moduln auf einem Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass dann auch die direkte Summe ${}{\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ wieder kohärent ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ quasikohärente Moduln auf einem Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kern ${}\operatorname {kern} \varphi$ ebenfalls quasikohärent ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ kohärente Moduln auf einem noetherschen Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kern ${}\operatorname {kern} \varphi$ ebenfalls kohärent ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ quasikohärente Moduln auf einem Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kokern ${}\operatorname {Kokern} \varphi$ ebenfalls quasikohärent ist.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein noethersches Schema und sei ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine globale Funktion mit Invertierbarkeitsort ${}X_{f}$. Es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{U}$- Modul auf ${}X$. Zeige

${}\Gamma {\left(X_{f},{\mathcal {M}}\right)}=\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}_{f}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein noethersches Schema und sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{U}$- Modul auf ${}U$. Zeige, dass der Vorschub ${}i_{*}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}X$ ist.

Betrachte zuerst die Situation, wo ${}X$ affin ist.

Aufgabe

Wir betrachten die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)$ auf dem projektiven Raum über einem Körper ${}K$ zusammen mit dem globalen Schnitt ${}X_{0}\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)\right)}$ und der Invertierbarkeitsmenge ${}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{n}\right)}_{X_{0}}=D_{+}(X_{0})$. Es sei ${}f\in \Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}$ eine auf ${}D_{+}(X_{0})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ definierte Funktion. Zeige direkt, dass es ein ${}m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass

${}X_{0}^{m}f\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)\right)}^{m}\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}\,$

von einem globalen Element aus ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)\right)}^{m}\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}$ herrührt.

Aufgabe

Wir betrachten die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)$ auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ über einem Körper ${}K$ zusammen mit dem globalen Schnitt ${}X\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}$ und der Invertierbarkeitsmenge ${}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{1}\right)}_{X}=D_{+}(X)$. Finde für die folgenden Funktionen ${}f$ aus ${}\Gamma {\left(D_{+}(X),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}$ ein geeignetes ${}n$ derart, dass ${}X^{n}f\in \Gamma {\left(D_{+}(X),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(n)\right)}$ von einem (von welchen?) Element aus ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(n)\right)}$ herrührt.

1. ${}{\frac {Y}{X}}$,
2. ${}{\frac {2Y^{3}-3Y^{2}X+4X^{3}}{X^{3}}}$,
3. ${}{\frac {Y^{17}+X^{17}}{X^{17}}}$.

Aufgabe

Spezialisiere Satz 14.13 für den Fall, wo ${}{\mathcal {M}}$ die Strukturgarbe von ${}X$ ist.