Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 28

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Beschreibe die Kegelabbildung

mit Hilfe eines linearen Systems in einer invertierbaren Garbe.


Aufgabe

Beschreibe die Projektion weg von einem Punkt mit Hilfe eines linearen Systems in einer invertierbaren Garbe.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der zugehörige projektive Raum. Es sei eine bijektive lineare Abbildung.

  1. Zeige, dass einen Automorphismus

    induziert.

  2. Bestimme das Urbild von in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
  3. Zeige, dass und genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind.
  4. Induziert jede lineare Abbildung einen Morphismus ?


In der vorstehenden Situation spricht man von einem projektiv-linearen Automorphismus.

Aufgabe

Beschreibe einen projektiv linearen Automorphismus

mit Hilfe eines linearen Systems in einer invertierbaren Garbe.


Aufgabe

Es seien Punkte im projektiven Raum über einem Körper . Zeige, dass es einen Automorphismus mit gibt.


Aufgabe *

Es sei ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper . Es seien und Vektoren in , die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung derart gibt, dass

für gilt.


Aufgabe

Es seien und jeweils drei (untereinander verschiedene) Punkte auf der projektiven Geraden über einem Körper . Zeige, dass es einen -Automorphismus mit für gibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass jeder -Automorphismus des projektiven Raumes in sich projektiv-linear ist.

Verwende, dass die zurückgezogene Garbe zu ebenfalls sein muss.

Aufgabe

Es sei ein Schema über einem Körper , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien globale Schnitte auf , die das lineare System festlegen. Es sei ein weiteres Erzeugendensystem dieses linearen Systems. Zeige folgende Aussagen.

  1. Es ist .
  2. Für die durch diese Erzeugendensysteme gegebenen Morphismen gibt es einen projektiv-linearen Automorphismus

    mit


Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade und das volle lineare System

Zeige, dass die Fixierung eines Erzeugendensystems von aus drei Elementen (bis auf Streckung) einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene als Gerade entspricht. Wie kann man dabei die Bildgerade beschreiben?


Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade und das volle lineare System

Zeige, dass die Fixierung einer Basis von (bis auf Streckung) einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene entspricht. Wie kann man dabei die Bildkurve beschreiben?


Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade und das volle lineare System

Zeige, dass die zugehörige Abbildung

einer Einbettung der projektiven Geraden in den projektiven Raum ergibt. Man gebe möglichst viele Gleichungen an, die die Bildkurve erfüllt.


Aufgabe

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien globale Schnitte auf . Es sei das Geradenbündel im Sinne von Satz 17.10 zur dualen invertierbaren Garbe derart, dass man die als Morphismen

auffassen kann. Zeige, dass dann ein kommutatives Diagramm

vorliegt, wobei rechts die Kegelabbildung steht.


Aufgabe

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien globale Schnitte auf . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es ist .
  2. Der durch das lineare System definierte Morphismus nach ist auf ganz definiert.
  3. Das lineare System ist basispunktfrei.



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