- Übungsaufgaben
Es sei
ein
Körper
und
der zugehörige
projektive Raum.
Es sei
eine
bijektive
lineare Abbildung.
- Zeige, dass
einen
Automorphismus
-
induziert.
- Bestimme das Urbild von
in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
- Zeige, dass
und
genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar
ineinander überführbar sind.
- Induziert jede lineare Abbildung
einen Morphismus
?
In der vorstehenden Situation spricht man von einem projektiv-linearen Automorphismus.
Beschreibe einen projektiv linearen Automorphismus
-
mit Hilfe eines
linearen Systems
in einer
invertierbaren Garbe.
Es sei
ein zweidimensionaler
Vektorraum
über einem Körper
. Es seien
und
Vektoren in
, die jeweils paarweise
linear unabhängig
seien. Zeige, dass es eine bijektive
lineare Abbildung
derart gibt, dass
-

für
gilt.
Es seien
und
jeweils drei
(untereinander verschiedene)
Punkte auf der
projektiven Geraden
über einem
Körper
. Zeige, dass es einen
-Automorphismus
mit
für
gibt.
Verwende, dass die zurückgezogene Garbe zu
ebenfalls
sein muss.
Es sei
ein
Schema
über einem
Körper
, es sei
eine
invertierbare Garbe
auf
und es seien
globale Schnitte
auf
, die das
lineare System
festlegen. Es sei
ein weiteres
Erzeugendensystem
dieses linearen Systems. Zeige folgende Aussagen.
- Es ist
.
- Für die durch diese Erzeugendensysteme
gegebenen Morphismen
gibt es einen projektiv-linearen Automorphismus
-
mit
-

Wir betrachten die
projektive Gerade
und das volle
lineare System
-

Zeige, dass die Fixierung eines
Erzeugendensystems
von
aus drei Elementen
(bis auf Streckung)
einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene als Gerade entspricht. Wie kann man dabei die Bildgerade beschreiben?
Wir betrachten die
projektive Gerade
und das volle
lineare System
-

Zeige, dass die Fixierung einer
Basis
von
(bis auf Streckung)
einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene entspricht. Wie kann man dabei die Bildkurve beschreiben?
Wir betrachten die
projektive Gerade
und das volle
lineare System
-

Zeige, dass die zugehörige Abbildung
-
einer Einbettung der projektiven Geraden in den projektiven Raum ergibt. Man gebe möglichst viele Gleichungen an, die die Bildkurve erfüllt.
Es sei
ein
Schema
über einem
kommutativen Ring
, es sei
eine
invertierbare Garbe
auf
und es seien
globale Schnitte
auf
. Es sei
das
Geradenbündel
im Sinne von
Satz 17.10
zur dualen invertierbaren Garbe
derart, dass man die
als Morphismen
-
auffassen kann. Zeige, dass dann ein kommutatives Diagramm
-
vorliegt, wobei rechts die
Kegelabbildung
steht.
Es sei
ein
Schema
über einem
kommutativen Ring
, es sei
eine
invertierbare Garbe
auf
und es seien
globale Schnitte
auf
. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Es ist
.
- Der durch das
lineare System
definierte
Morphismus
nach
ist auf ganz
definiert.
- Das lineare System
ist
basispunktfrei.