Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesung 5

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... dass jeder und jede meint, dass Vorli ihn oder sie ganz besonders mag.




Gruppen

Wir besprechen Gruppen. Mit dieser Struktur kann man viele strukturelle Gemeinsamkeiten zwischen der Menge der bijektiven Abbildungen auf einer Menge oder der Addition in einem kommutativen Ring wie oder der Multiplikation in einem Körper, wenn man die herausnimmt (wie in oder in ), erfassen.


Definition  

Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
  2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
  3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit

Eine Gruppe ist also ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.


Definition  

Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.



Lemma  

Es sei eine Gruppe.

Dann ist zu jedem das Element mit

eindeutig bestimmt.

Beweis  

Sei

und

Dann ist


Allgemeiner gilt in Gruppen die eindeutige Lösbarkeit von mit der Verknüpfung formulierten Gleichungen.



Lemma  

Sei eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen die beiden Gleichungen

eindeutige Lösungen .

Beweis  

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit (bzw. mit ) von links folgt, dass nur

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.

In einer (multiplikativ geschriebenen) Gruppe kann man Potenzen allgemeiner als in einem Monoid definieren, nämlich auch für negative ganze Zahlen im Exponenten. Wie in jedem Monoid bezeichnet zu und der Ausdruck das -fache Produkt von mit sich selbst, was einschließt. Die Schreibweise für das inverse Element zu reiht sich in die neue Potenzschreibweise ein. Für eine negative ganze Zahl mit und setzt man

Dass dies die richtige Definition ist, zeigt sich darin, dass sich die Potenzgesetze aus Lemma 4.8 in die neue Situation übertragen.



Lemma  

Es sei eine Gruppe und seien . Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für .

  1. Es ist
  2. Es ist das inverse Element zu .

Beweis  

(1) folgt aus Aufgabe 5.2, da eine Gruppe ist. (2). Bei ist die linke Gleichheit eine Definition und die Behauptung folgt aus

Daraus folgt auch die Aussage für negatives . Für (3), (4) siehe Aufgabe 5.9.


In einer kommutativen Gruppe gilt für und wieder die Gleichheit

siehe Aufgabe 5.10.


Definition  

Sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch .

In einer Untergruppe kann man also die Verknüpfung der Gruppe ausführen, man kann das Inverse nehmen und das neutrale Element gehört dazu. In additiver Schreibweise, bedeuten die Bedingungen einfach

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch das Negative .

Beispielsweise bilden alle Vielfachen der innerhalb der ganzen Zahlen eine Untergruppe, die wir mit bezeichnen. Es ist ja

wenn und sind, so ist

nach dem Distributivgesetz und mit ist . Wir werden in Satz 8.4, dass jede Untergruppe von diese Bauart hat.



Kommutative Ringe

Definition  

Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt .
    2. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt und .

Definition  

Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Ein kommutativer Ring ist insbesondere ein kommutativer Halbring, alle für Halbringe geltenden Eigenschaften wie beispielsweise die allgemeine binomische Formel gelten insbesondere auch für kommutative Ringe. Der wesentliche Unterschied liegt in der zusätzlichen Bedingung (1.4), der Existenz des Negativen. Dies bedeutet, dass in einem Ring das additive Monoid eine (kommutative) Gruppe ist. Dieses Negative ist nach Lemma 5.3 eindeutig bestimmt. Für das zu jedem eindeutig bestimmte Negative schreiben wir . Wegen

ist auch das Negative zu , also .

Mit diesem Begriff können wir festhalten.


Satz

Die ganzen Zahlen

bilden einen kommutativen Ring.


Beispiel  

Die einelementige Menge kann man zu einem Ring machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch und . In diesem Fall ist , dies ist also ausdrücklich erlaubt. Diesen Ring nennt man den Nullring.


Einen weiteren endlichen Ring (und zwar einen Körper) haben wir bereits in Beispiel 4.12 kennengelernt. In der zwölften Vorlesung werden wir einer Vielzahl von weiteren endlichen Ringen begegnen.

In einem kommutativen Ring und Elemente verwendet man

als abkürzende Schreibweise. Man spricht von der Subtraktion bzw. der Differenz. Die Subtraktion ist also die Addition von mit dem Negativen (also ) von .



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und seien Elemente aus .

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. (Annullationsregel),

  2. (Vorzeichenregel),

Beweis  

  1. Es ist . Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit ) von ergibt sich die Behauptung.
  2. nach Teil (1). Daher ist das (eindeutig bestimmte) Negative von .

  3. Nach (2) ist und wegen folgt die Behauptung.
  4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.


Wie in jedem kommutativen Halbring kann man in jedem kommutativen Ring Ausdrücke der Form mit und sinnvoll interpretieren, und zwar ist die -fache Summe von mit sich selbst. Auch die Potenzschreibweise wird wieder verwendet und es gelten insbesondere die in Lemma 4.8 formulierten Potenzgesetze. Darüber hinaus kann man auch für negative Zahlen den Ausdruck interpretieren, nämlich als

Insbesondere ist

in jedem kommutativen Ring sinnvoll interpretierbar. Dabei gelten naheliegende Rechengesetze, siehe Aufgabe 5.22.



Körper

Definition  

Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ein Körper ist also insbesondere ein kommutativer Ring. Jede Eigenschaft, die in einem kommutativen Ring gilt, gilt auch in einem Körper (aber nicht umgekehrt).

Die wichtigsten Körper sind für uns der Körper der rationalen Zahlen, der Körper der reellen Zahlen und der Körper der komplexen Zahlen. Der Körper mit zwei Elementen wurde in Beispiel 4.12 besprochen. Wir werden weitere endliche Körper in der zwölften Vorlesung konstruieren. Zu einem Element bezeichnet man, wie in jedem kommutativen Ring, dasjenige Element, das mit addiert die ergibt, als das Negative von , geschrieben . Zu einem Element , , bezeichnet man dasjenige Element, das mit multipliziert die ergibt, als das Inverse von (oder den Kehrwert von oder die zu reziproke Zahl), geschrieben . Auch dieses ist eindeutig bestimmt.

Bemerkung  

In einem Körper wird für beliebige Elemente  mit , die Bruchschreibweise

verwendet. Es handelt sich also um eine Abkürzung für das Produkt von mit dem inversen Element von . Die Zahl ist das eindeutig bestimmte Element, das mit multipliziert das Element ergibt. Diese Schreibweise passt mit der Bruchschreibweise für rationale Zahlen zusammen, da ja

ist.

Die Berechnung von

nennt man Division, wobei der Dividend und der Divisor der Division heißt, das Ergebnis heißt Quotient.


Bemerkung  

In einem Körper ist wie in jedem kommutativen Ring die additive Struktur eine kommutative Gruppe. Insbesondere besitzt in jedem Körper eine Gleichung der Form

mit eine eindeutige Lösung, nämlich

wie sich direkt aus Lemma 5.4 ergibt. Darüber hinaus ist zu jedem Körper die multiplikative Struktur, wenn man die herausnimmt, also eine kommutative Gruppe. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung der Form

mit eine eindeutige Lösung in besitzt, nämlich


Die folgende Eigenschaft heißt die Nichtnullteilereigenschaft eines Körpers. Sie gilt auch für , im Allgemeinen aber nicht für jeden kommutativen Ring, siehe Aufgabe 5.5.



Lemma

Es sei ein Körper. Aus

folgt oder .

Beweis

Siehe Aufgabe 5.27.


In einem Körper kann man die Potenzschreibweise erweitern, da ja eine Gruppe ist und man daher zu , und der Ausdruck wohldefiniert ist. Wie bei jeder Gruppe ist zu einer natürlichen Zahl das -fache Produkt von mit sich selbst ( Faktoren), was den Fall miteinschließt. Für negatives schreibt man mit und setzt

Für diese Potenzen gelten insbesondere die in Lemma 5.5 formulierten Potenzgesetze, die die Potenzgesetze für positive Exponenten (siehe Lemma 4.8), die in jedem kommutativen Halbring gelten, wesentlich erweitern.


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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)