Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 5

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Formuliere die zweite binomische Formel für einen kommutativen Ring und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und . Drücke das Inverse von durch die Inversen von und aus.


Aufgabe

Es sei eine Menge und es sei die Menge aller bijektiven Abbildungen von nach . Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu ?


Aufgabe

Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei

die Verknüpfung mit . Zeige, dass bijektiv ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu Lemma 5.4?


Aufgabe

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position , wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen (etwas größeren) Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?


Aufgabe

Wir betrachten die Menge

Zeige, dass auf durch

eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

mit der in Aufgabe 5.7 definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe und seien . Zeige, dass die folgenden Potenzgesetze für gelten.


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe, und . Zeige


Aufgabe

Gabi Hochster hat heute keine Lust, bei der Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Überträge zu berücksichtigen. Sie addiert einfach ziffernweise und schreibt nur die Endziffern der Einzelsummen an die richtige Stelle hin. Sie sagt: „Meine neue Verknüpfung ist viel besser als die übliche Addition: Sie ist einfacher zu berechnen, sie ist assoziativ und kommutativ und sie besitzt ein neutrales Element. Darüber hinaus gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass deren Summe die ergibt. Es liegt also sogar eine Gruppe vor und die ganzen Zahlen braucht man gar nicht mehr“. Sind ihre Beobachtungen korrekt?


Aufgabe

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:


Aufgabe

Es sei eine Gruppe und es seien und Untergruppen von . Zeige, dass der Durchschnitt

ebenfalls eine Untergruppe von ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien und Elemente in . Berechne


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, und . Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen kommutativen Ring .


Aufgabe

Sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein Ring mit der Nullring ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Multiplikation mit , also die Abbildung

bijektiv ist.


Aufgabe

Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe positiv und negativ in einem kommutativen Ring besitzen. Wie sieht es in aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?


Aufgabe

Zeige

für mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes für .


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge aller quadratischen -Matrizen über mit der Addition von Matrizen und mit der Verknüpfung von Matrizen als Multiplikation ein Ring ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und es seien ganze Zahlen und . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu ist (also die -fache Summe von mit sich selbst) gleich , wobei links die -fache Summe der mit sich selbst steht.
  2. Zu ist (also die -fache Summe des Negativen von mit sich selbst) gleich dem Negativen (in ) von .
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Ringerelement zuordnen kann, so dass das Nullelement in und das Einselement in ist und so dass

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.


Aufgabe

Es sei ein Ring und eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge

eine Ringstruktur.


Aufgabe *

Wir betrachten die Menge

die mit der stellenweisen Addition von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.

  1. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

    gilt.

  2. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

    nicht gilt.


Aufgabe *

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .


Einen kommutativen Ring , der die Nichtnullteilereigenschaft aus Lemma 5.14 erfüllt, heißt Integritätsbereich. Die ganzen Zahlen sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Ring und seien und Elemente in . Berechne das Produkt

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und , , ein fixierter Vektor. Zeige, dass

mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für ganze Zahlen genau dann das „umgekehrte Distributivgesetz“

gilt, wenn

oder

ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, so dass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die „Rechenregel“

bei (und ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit , wo diese Regel gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige für einen Körper die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes ist die Abbildung

bijektiv.

(2) Für jedes , , ist die Abbildung

bijektiv.


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