Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 5

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Formuliere die zweite binomische Formel für einen kommutativen Ring $R$ und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei $G$ eine Gruppe. Zeige, dass

${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$

für alle  $x\in G$  ist.

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und  $x,y\in G$.  Drücke das Inverse von $xy$ durch die Inversen von $x$ und $y$ aus.

Kommentar:

Da die Bezeichnung $xy$ verwendet wird, liegt multiplikative Schreibweise vor, das Inverse von $x$ ist $x^{-1}$ und das Inverse von $y$ ist $y^{-1}$. Der erste Reflex ist vielleicht, es mit dem Produkt $x^{-1}{y}^{-1}$ zu versuchen, doch dies ist falsch. Das Produkt

$xy{x}^{-1}{y}^{-1}$

kann man ohne weitere Bedingung nicht vereinfachen, da die Gruppe nicht kommutativ ist. Stattdessen versucht man es mit $y^{-1}{x}^{-1}$, und das funktioniert.

 

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und es sei $B$ die Menge aller bijektiven Abbildungen von $M$ nach $M$. Zeige, dass $B$ mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu $f\in B$?

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und sei  $g\in G$  ein Element und sei

$\phi :G⟶G,x⟼x\circ g,$

die Verknüpfung mit $g$. Zeige, dass $\phi$ bijektiv ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu Lemma 5.4?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position $(-2,3)\in {\mathbb{Z}}^2$, wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen (etwas größeren) Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?

Aufgabe

Wir betrachten die Menge

$M=\{q\in \mathbb{Q}\mid 0\le q<1\}$

Zeige, dass auf $M$ durch

$a\oplus b:=\{\begin{array}{c}a+b,\text{ falls }a+b<1,\\ a+b-1\text{ sonst}.\end{array}$

eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

$M=\{q\in \mathbb{Q}\mid 0\le q<1\}$

mit der in Aufgabe 5.7 definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei $(G,1,\cdot )$ eine Gruppe und seien  $a,b\in G$.  Zeige, dass die folgenden Potenzgesetze für  $m,n\in \mathbb{Z}$  gelten.

1. $a^{m+n}=a^m\cdot a^n.$

2. $(a^m{)}^n=a^{mn}.$

Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe,  $a,b\in G$  und  $n\in \mathbb{Z}$.  Zeige

$(ab{)}^n=a^n{b}^n.$

Aufgabe

Gabi Hochster hat heute keine Lust, bei der Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Überträge zu berücksichtigen. Sie addiert einfach ziffernweise und schreibt nur die Endziffern der Einzelsummen an die richtige Stelle hin. Sie sagt: „Meine neue Verknüpfung ist viel besser als die übliche Addition: Sie ist einfacher zu berechnen, sie ist assoziativ und kommutativ und sie besitzt ein neutrales Element. Darüber hinaus gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass deren Summe die $0$ ergibt. Es liegt also sogar eine Gruppe vor und die ganzen Zahlen braucht man gar nicht mehr“. Sind ihre Beobachtungen korrekt?

Aufgabe

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge  $H\subseteq G$  einer Gruppe $G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

$\text{ für alle }g,h\in H\text{ ist }g{h}^{-1}\in H.$

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $H_1$ und $H_2$ Untergruppen von $G$. Zeige, dass der Durchschnitt

$H_1\cap H_2$

ebenfalls eine Untergruppe von $G$ ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $x,y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne

$(2x^3-x{y}^{2}z-4x^2{y}^2)(-2x^3-z-xyz)-x^2(4-3y-5x{y}^{5}z).$

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $x\in R$ und $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Zeige die Gleichheit

$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots +x^2+x+1).$

Aufgabe

Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen kommutativen Ring $R$.

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge $𝔓(M)$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

$A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Ring mit  $0=1$  der Nullring ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Multiplikation mit $-1$, also die Abbildung

$R⟶R,g⟼-g,$

bijektiv ist.

Aufgabe

Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe positiv und negativ in einem kommutativen Ring besitzen. Wie sieht es in $\mathbb{Z}$ aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?

Aufgabe

Zeige

$\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$

für  $n\ge 1$  mithilfe des Binomischen Lehrsatzes für $\mathbb{Z}$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die Menge aller quadratischen $n\times n$-Matrizen über $K$ mit der Addition von Matrizen und mit der Verknüpfung von Matrizen als Multiplikation ein Ring ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass

${\mathrm{End}}_{}(V)=\{\phi :V\to V\mid \phi \text{ linear}\}$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.

Kommentar:

Dies ist eine Verallgemeinerung von Aufgabe 5.20 und geht ähnlich. Der Nachweis, dass etwas ein Ring ist, sieht auf den ersten Blick nach viel Arbeit aus, da ja zielmich viele Eigenschaften zu überprüfen sind. Wenn viel Arbeit ansteht sollte man sich immer fragen, ob sich ein Teil davon direkt erledigen lässt oder ob es jemand anders erledigen kann oder ob sie schon erledigt ist. Danach kann man sich dann auf die verbleibende Arbeit konzentrieren. Mathematisch bedeutet dies: sind Teilaufgaben trivial? Gab es Sätze, aus denen ein Teil oder alles folgt? Wurde eine ähnliche Aufgabe oder die im Prinzip gleiche, aber mit anderen Worten formulierte Aufgabe schon bearbeitet?

Wenn man ferner zeigen soll, dass etwas ein Ring, eine Gruppe etc. ist, so muss man zuerst die gegebene Menge und die Verknüpfungen darauf verstehen, wie diese aufgebaut sind. Verknüpfungen werden häufig unter bezug auf grundlegendere Verknüpfungen definiert. Hier startet man ja mit einem beliebigen Vektorraum $V$, der seinerseits wieder auf einen Körper Bezug nimmt. Darüber weiß man nichts weiteres, außer dass es eben ein Vektorraum ist.

Die Menge, um die es geht, ist jetzt die Menge ${\mathrm{End}}_{}(V)$ aller linearen Abbildungen von $V$ nach $V$ (die man auch Endomorphismen nennt). Hier kommt die Vorstellung, dass Ringe so etwas wie Zahlbereiche sind, an ihre Grenzen. $\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ$ sind Ringe, es gibt aber eben auch noch ziemlich anders geartete Ringe, deren Elemente nicht „Zahlen “, sondern lineare Abbildungen sind. Zu den Verknüpfungen: Hier wird kurz von der Addition und der Hintereinanderschaltung gesprochen. Es wird also so getan, also ob es klar ist, was die Addition ist. Was soll $f+g$ sein? Da $f$ und $g$ lineare Abbildungen sind, und $f+g$ auch eine lineare Abbildung sein soll, muss $f+g$ aus jedem Vektor  $v\in V$  wieder ein Vektor machen, da fällt einem nur

$(f+g)(v)=f(v)+g(v)$

ein. Dies ist wieder linear, das kann man direkt zeigen und war allgemeiner Gegenstand von Aufgabe 24.29 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)). Dann ist auch klar, was die $0$ ist, nämlich die Nullabbildung, die alles auf $0$ schickt, und dass dies mit dieser Addition eine Gruppe bildet. Dies gilt genauso für die Menge aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$, wenn $W$ ein weiterer Vektorraum ist.

Zur Multiplikation: Nach Lemma 3.15 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist die Hintereinanderschaltung (das ist die Multiplikation) von Abbildungen assoziativ, was auch schon in Beispiel 4.7 verwendet wurde, und das neutrale Element ist die Identität, und nach Lemma 24.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen wieder linear. Somit ist nur noch das Distributivgesetz zu zeigen.

 

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $k,m,n$ ganze Zahlen und  $x,y\in R$.  Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu  $n\in \mathbb{N}$  ist $nx$ (also die $n$-fache Summe von $x$ mit sich selbst) gleich $(1+\cdots +1)\cdot x$, wobei links die $n$-fache Summe der  $1\in R$  mit sich selbst steht.
2. Zu  $n\in \mathbb{N}$  ist $-n$ (also die $n$-fache Summe des Negativen von $1$ mit sich selbst) gleich dem Negativen (in $R$) von  $n=1+\cdots +1$. 
3. Es ist

   $(m+k)x=mx+kx.$

4. Es ist

   $k(x+y)=kx+ky.$

5. Es ist

   $(km)x=k(mx).$

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl  $n\in \mathbb{N}$  ein Ringelement $n_R$ zuordnen kann, derart, dass $0_R$ das Nullelement in $R$ und $1_R$ das Einselement in $R$ ist und dass

$(n+1{)}_R=n_R+1_R$

gilt.Man zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

$(n+m{)}_R=n_R+m_R\text{ und }(nm{)}_R=n_R\cdot m_R$

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem $f\in R$ sei

${\mu }_f:R⟶R,g⟼fg,$

die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass ${\mu }_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Ring und $M$ eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge

$A=\{f:M\to R\mid f\text{ Abbildung}\}$

eine Ringstruktur.

Aufgabe *

Wir betrachten die Menge

$M=\mathrm{Abb}(ℝ,ℝ),$

die mit der stellenweisen Addition $+$ von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen $\circ$ eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.

1. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

   $(f+g)\circ h=f\circ h+g\circ h$

   gilt.

2. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

   $h\circ (f+g)=h\circ f+h\circ g$

   nicht gilt.

Aufgabe *

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper $K$.

Einen kommutativen Ring $\ne 0$, der die Nichtnullteilereigenschaft aus Lemma 5.14 erfüllt, heißt Integritätsbereich. Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn $R$ ein Körper ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $R$ ein Ring und seien $x,y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne das Produkt

$(x^2-3yzy-2z{y}^2+4x{y}^2)(2x{y}^{3}x-z^{2}xyx)(1-3zyx{z}^{2}y).$

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $v\in V$, $v\ne 0$, ein fixierter Vektor. Zeige, dass

$R(v)=\{\phi \in {\mathrm{End}}_{}\left(V\right)\mid v\text{ ist Eigenvektor zu }\phi \}$

mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ${\mathrm{End}}_{}\left(V\right)$ ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für ganze Zahlen $a,b,c\in \mathbb{Z}$ genau dann das „umgekehrte Distributivgesetz“

$a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)$

gilt, wenn

$a=0$

oder

$a+b+c=1$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die „Rechenregel“

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$

bei  $a,c\in {\mathbb{N}}_{+}$  (und  $b,d,b+d\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit  $a,b,c,d,b+d\ne 0$,  wo diese Regel gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige für einen Körper $K$ die folgenden Eigenschaften.

a) Für jedes  $a\in K$  ist die Abbildung

${\alpha }_a:K⟶K,x⟼x+a,$

bijektiv.

b) Für jedes $b\in K$, $b\ne 0$, ist die Abbildung

${\mu }_b:K⟶K,x⟼bx,$

bijektiv.