Kurs:Elementare Algebra/15/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	0	1	5	2	0	4	6	2	4	14	0	2	5	0	1	56

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.
2. Das Teilen in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Ein faktorieller Integritätsbereich ${}R$.
4. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$.
5. Ein Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$.
6. Ein aus einer Teilmenge ${}T\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ elementar konstruierbarer Kreis ${}C$.

Lösung

1. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

2. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt, wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist.
3. ${}R$ heißt faktoriell, wenn jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.
4. Das Produkt

   $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

   versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.

5. Unter einem Vektorraum ${}V$ über ${}K$ versteht man eine Menge ${}V$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

   $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

   und

   $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$

   derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig):

   1. ${}u+v=v+u$,
   2. ${}(u+v)+w=u+(v+w)$,
   3. ${}v+0=v$,
   4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$,
   5. ${}r(su)=(rs)u$,
   6. ${}r(u+v)=ru+rv$,
   7. ${}(r+s)u=ru+su$,
   8. ${}1\cdot u=u$.
6. Ein Kreis ${}C\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}Z,S\in M$, ${}Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ und durch den Punkt ${}S$ gleich ${}C$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Irreduzibilitätskriterium für Polynome ${}P\in K[X]$ von kleinem Grad über einem Körper.
2. Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit in einem faktoriellen Bereich.
3. Das Basisaustauschlemma.

Lösung

1. Ein Polynom vom Grad zwei oder drei ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in ${}K$ besitzt.
2. Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich und ${}a,b\in R$. Dann ist ${}a$ ein Teiler von ${}b$ genau dann, wenn für die Exponenten zu jedem Primelement ${}p$ die Abschätzung

   ${}{\exp _{p}(a)}\leq {\exp _{p}(b)}\,$

   gelten.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei ${}w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung

   ${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$

   wobei ${}s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes ${}k$. Dann ist auch die Familie

   $v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$

   eine Basis von ${}V$.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,k)\longmapsto {\binom {n}{k}},$

wobei bei ${}k>n$ der Binomialkoeffizient als ${}0$ zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.

1. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?
2. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?
3. Bestimme ${}{\binom {\binom {3}{2}}{1}}$ und ${}{\binom {3}{\binom {2}{1}}}$.
4. Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Lösung

1. Es kann kein neutrales Element von links geben, da für ${}k>n$ gilt

   ${}{\binom {n}{k}}=0\neq k\,.$

2. ${}1$ ist das neutrale Element von rechts. Für ${}n\geq 1$ ist

   ${}{\binom {n}{1}}=n\,$

   und dies gilt auch für ${}n=0$.

3. Es ist

   ${}{\binom {\binom {3}{2}}{1}}={\binom {3}{1}}=3\,$

   und

   ${}{\binom {3}{\binom {2}{1}}}={\binom {3}{2}}=3\,.$

4. Die Verknüpfung ist nich assoziativ, beispielsweise ist

   ${}{\binom {\binom {4}{3}}{2}}={\binom {4}{2}}=6\,,$

   aber

   ${}{\binom {4}{\binom {3}{2}}}={\binom {4}{3}}=4\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}x\in K$, ${}x\neq 0$ ein Element. Erläutere, warum es sinnvoll ist, für das inverse Element zu ${}x$ die Bezeichnung ${}x^{-1}$ zu verwenden.

Lösung

Das inverse Element zu ${}x$ ist durch die Eigenschaft ${}x\cdot y=1$ ausgezeichnet. Die Bezeichnung ${}x^{-1}$ für dieses ${}y$ ermöglicht es, die Potenzschreibweise auszudehnen, da dann

${}x\cdot x^{-1}=x^{1}\cdot x^{-1}=x^{1-1}=x^{0}=1\,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$ sind.

Lösung

Eine Teilmenge der Form ${}\mathbb {Z} d$ ist aufgrund des Distributivgesetzes eine Untergruppe. Es sei umgekehrt ${}H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei ${}H=0$ kann man ${}d=0$ nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass ${}H$ neben ${}0$ noch mindestens ein weiteres Element ${}x$ enthält. Wenn ${}x$ negativ ist, so muss die Untergruppe ${}H$ auch das Negative davon, also ${}-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. ${}H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun ${}d$ die kleinste positive Zahl aus ${}H$. Wir behaupten ${}H=\mathbb {Z} d$. Dabei ist die Inklusion ${}\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit ${}d$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von ${}d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}h\in H$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

$h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.$

Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch ${}r=h-qd\in H$. Nach der Wahl von ${}d$ muss wegen ${}r<d$ gelten: ${}r=0$. Dies bedeutet ${}h=qd$ und damit ${}h\in \mathbb {Z} d$, also ${}H\subseteq \mathbb {Z} d$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Lösung

In einer echten Primfaktorzerlegung von ${}P$, ${}\operatorname {grad} \,(P)\leq 3$, muss ein Polynom vom Grad eins vorkommen, also ein lineares Polynom. Ein lineares Polynom ${}X-a$ teilt aber nach Fakt ***** das Polynom ${}P$ genau dann, wenn ${}P(a)=0$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}23+2{\mathrm {i} }$ und ${}1+23{\mathrm {i} }$.

Lösung

Wir multiplizieren die zweite Zahl mit der Einheit ${}-{\mathrm {i} }$ und erhalten ${}23-{\mathrm {i} }$. Damit ist

${}23+2{\mathrm {i} }=1(23-{\mathrm {i} })+3{\mathrm {i} }\,.$

Im nächsten Schritt ist (wir können mit ${}3$ statt mit ${}3{\mathrm {i} }$ arbeiten)

${}{\frac {23-{\mathrm {i} }}{3}}=7+{\frac {2}{3}}-{\frac {\mathrm {i} }{3}}\,$

bzw.

${}23-{\mathrm {i} }=7\cdot 3+2-{\mathrm {i} }\,.$

Weiter ist

${}3=(2-{\mathrm {i} })+1+{\mathrm {i} }\,$

und

${}(2-{\mathrm {i} })=(1+{\mathrm {i} })(1-{\mathrm {i} })-{\mathrm {i} }\,,$

sodass also Teilerfremdheit vorliegt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien ${}\ell ,m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}x$ die Zahl mit ${}\ell$ Neunen und ${}y$ die Zahl mit ${}m$ Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass ${}y$ genau dann von ${}x$ geteilt wird, wenn ${}m$ von ${}\ell$ geteilt wird.

Lösung

Wir schreiben

${}x=10^{\ell }-1\,$

und

${}y=10^{m}-1\,.$

Es sei zuerst ${}\ell$ ein Teiler von ${}m$, also

${}m=\ell k\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}y&=10^{m}-1\\&=10^{\ell k}-1\\&={\left(10^{\ell }\right)}^{k}-1\\&={\left(10^{\ell }-1\right)}\cdot {\left(10^{(k-1)\ell }+\cdots +10^{2\ell }+10^{\ell }+1\right)},\end{aligned}}$

also ist ${}x$ ein Teiler von ${}y$.

Für die Umkehrung schreiben wir

${}m=\ell k+r\,$

mit ${}0\leq r<\ell$ und setzen voraus, dass ${}y$ von ${}x$ geteilt wird. Es ist ${}r=0$ zu zeigen. Es ist

${}{\begin{aligned}y&=10^{m}-1\\&=10^{\ell k+r}-1\\&=10^{\ell k}\cdot 10^{r}-1\\&={\left(10^{\ell k}-1\right)}\cdot 10^{r}+10^{r}-1.\end{aligned}}$

Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von ${}10^{\ell }-1$. Wenn auch ${}y$ ein Vielfaches von ${}10^{\ell }-1$ ist, so muss auch die Differenz, also ${}10^{r}-1$ ein Vielfaches von ${}10^{\ell }-1$ sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei ${}r=0$ sein.

Aufgabe (2 Punkte)

In den Klassenarbeiten der Klasse ${}7x$ können die üblichen Noten mit den Zehntelangaben ${}0,3$ oder ${}7$ erzielt werden (also beispielsweise ${}2+=1,7$, ${}2=2,0$ und ${}2-=2,3$). Es werden im Halbjahr zwei Klassenarbeiten geschrieben, ihr Durchschnitt (das arithmetische Mittel) bestimmt über die Endnote, die ganzzahlig ist. Kann es einen Unterschied machen, ob man zuerst die einzelnen Klassenarbeiten rundet und dann den Durchschnitt rundet, oder ob man den Durchschnitt nimmt und dann rundet (${},5$ soll auf die größere ganze Note gerundet werden)?

Lösung

Das macht einen Unterschied. Wenn bei den beiden Klassenarbeiten die Noten ${}2+=1,7$ und ${}3+=2,7$ erzielt wurden, so führt das bei Rundung der Einzelergebnisse aus eine ${}2$ und eine ${}3$. Der Durchschnitt davon ist ${}2,5$, was zur Endnote ${}3$ gerundet wird. Dagegen ist

${}1,7+2,7=4,4\,$

mit dem Durchschnitt ${}2,2$, was auf eine ${}2$ gerundet wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ genau dann ist, wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

Lösung

Sind ${}a$ und ${}n$ teilerfremd, so gibt es nach Fakt ***** eine Darstellung der ${}1$, es gibt also ganze Zahlen ${}r,s$ mit

${}ra+sn=1\,.$

Betrachtet man diese Gleichung modulo ${}n$, so ergibt sich ${}ra=1$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$. Damit ist ${}a$ eine Einheit mit Inversem ${}a^{-1}=r$.

Ist umgekehrt ${}a$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(n)$, so gibt es ein ${}r\in \mathbb {Z} /(n)$ mit ${}ar=1$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$. Das bedeutet aber, dass ${}ar-1$ ein Vielfaches von ${}n$ ist, sodass also

${}ar-1=sn\,$

gilt. Dann ist aber wieder ${}ar-sn=1$ und ${}a$ und ${}n$ sind teilerfremd.

Aufgabe (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Lösung

a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in ${}\mathbb {Z}$ ist ${}ab=ba$, woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei ${}(a,b)\sim (c,d)$, also ${}ad=bc$. Dann ist auch ${}cb=da$, was ${}(c,d)\sim (a,b)$

bedeutet. Zur Transitivität sei

$(a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),$

also

$ad=bc{\text{ und }}cf=de.$

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich

${}adf=bcf=bde\,.$

Da

${}d\neq 0$ ist, folgt daraus ${}af=be$, was ${}(a,b)\sim (e,f)$ bedeutet.

b) Es sei ${}(a,b)$ vorgegeben. Wegen ${}b\neq 0$ ist ${}b>0$ oder ${}b<0$. Bei ${}b>0$ sind wir fertig, da ${}(a,b)$ zu sich selbst äquivalent ist. Bei ${}b<0$ betrachten wir ${}(-a,-b)$. Der

zweite Eintrag ist positiv, und wegen

${}a(-b)=-(ab)=b(-a)\,$

sind ${}(a,b)$ und ${}(-a,-b)$ äquivalent zueinander.

c) Es seien ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ vorgegeben und ${}\varphi (z_{1})=\varphi (z_{2})$. Das bedeutet

${}[(z_{1},1)]=[(z_{2},1)]$ bzw. ${}(z_{1},1)\sim (z_{2},1)$, also

${}z_{1}=z_{1}1=1z_{2}=z_{2}\,.$

d) Wir setzen

$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+cb,bd)].$

Wegen ${}b,d\neq 0$ ist auch

${}bd\neq 0$. Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei

$(a,b)\sim (a',b'){\text{ und }}(c,d)\sim (c',d'),$

also

$ab'=a'b{\text{ und }}cd'=c'd.$

Wir behaupten

$(ad+cb,bd)\sim (a'd'+c'b',b'd').$

Dies folgt aus

${}{\begin{aligned}(ad+cb)b'd'&=adb'd'+cbb'd'\\&=ab'dd'+cd'bb'\\&=a'bdd'+c'dbb'\\&=bda'd'+bdc'b'\\&=bd(a'd'+c'b').\end{aligned}}$

Die Assoziativität folgt aus

${}{\begin{aligned}([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&=[(ad+bc)f+bde,bdf]\\&=[adf+bcf+bde,bdf]\\&=[adf+b(cf+de),bdf]\\&=[(a,b)]+([(cf+de,df)])\\&=[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]).\end{aligned}}$

Wegen

${}[(a,b)]+[(0,1)]=[(a1+b0,b1)]=[(a,b)]\,$

(und ebenso

in der anderen Reihenfolge) ist ${}(0,1)$ das neutrale Element.

Wir behaupten, dass zu ${}[(a,b)]$ das inverse Element durch ${}[(-a,b)]$ gegeben ist. Dies folgt aus

${}[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab+b(-a),b^{2})]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]\,,$

wobei die letzte Gleichung sich aus ${}0\cdot 1=0\cdot b^{2}$ ergibt (ebenso in der anderen Reihenfolge).

Schließlich ist für${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=[(z_{1}+z_{2},1)]=[(z_{1}\cdot 1+1\cdot z_{2},1\cdot 1)]=[(z_{1},1)]+[(z_{2},1)]=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Lösung

Es sei ${}x$ der Preis für ein Schneeglöckchen und ${}y$ der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt

${}3x+4y=2{,}50\,$

und

${}5x+2y=2{,}30\,.$

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man

${}-7x=-2{,}10\,$

und damit

${}x=0{,}30\,.$

Daraus ergibt sich

${}y=0{,}40\,$

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich

${}1\cdot 0{,}3+11\cdot 0{,}4=4{,}70\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}c\\a\\b\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}b\\c\\a\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,.$

Man gebe Beispiele für ${}a,b,c$ derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension ${}0,1,2,3$ besitzt.

Lösung

Sei ${}a=b=c=0$. Dann steht hier dreimal der Nullvektor und der davon erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum, welcher die Dimension ${}0$ besitzt.

Sei ${}a=b=c=1$. Dann steht hier dreimal der Vektor ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ und der davon erzeugte Untervektorraum besitzt die Dimension ${}1$.

Sei ${}a=0$, ${}b=1$ und ${}c=-1$. Dann liegen die Vektoren

${\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$

vor. Addition dieser drei Vektoren ergibt den Nullvektor, sodass eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Dimension des erzeugten Raumes maximal ${}2$ sein kann. Da die ersten beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, ist die Dimension genau ${}2$.

Sei ${}a=1$ und ${}b=c=0$. Dann liegt die Standardbasis vor und der erzeugte Vektorraum ist ${}\mathbb {R} ^{3}$, also dreidimensional.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(-5,5)$, der durch den Punkt ${}(-4,-1)$ läuft.

Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

${}r={\sqrt {1^{2}+6^{2}}}={\sqrt {37}}\,.$

Die Kreisgleichung ist somit

$(X+5)^{2}+(Y-5)^{2}=37.$