Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 17/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Integritätsbereich und ein Körper mit . Zeige, dass dann auch gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in die folgenden Ausdrücke.

  1. Das Produkt
  2. Die Summe
  3. Das Inverse von


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige die Gleichheit

als Funktion von nach .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen


Aufgabe Referenznummer erstellen

Erstelle eine Wertetabelle für die rationale Funktion .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

die von und erzeugte Untergruppe. Zeige, dass auch von einem Element erzeugt wird. Von welchem?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und sei

die von und erzeugte Untergruppe. Zeige, dass von erzeugt wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

ein Unterring von ist. Was ergibt sich bei , , , ?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die Menge der Primzahlen und

eine Abbildung. Zeige, dass die Menge

eine Untergruppe von ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik an, der unendlich viele Elemente besitzt.


Die folgende Definition wird in den nächsten Aufgaben verwendet.


Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt für beliebige ,
  2. Aus und folgt für beliebige ,

erfüllt.


Die ganzen Zahlen bilden einen angeordneten Ring. Die Anordnung überträgt sich auf den Quotientenkörper, die rationalen Zahlen bilden also einen angeordneten Körper.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass mit der durch (bei ), falls in gilt, definierten Beziehung ein angeordneter Körper ist (dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf verwendet werden).


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen und liegen.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

  1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
  2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme einen Erzeuger für die Untergruppe , die durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien und sei

die von und erzeugte Untergruppe. Zeige, dass von erzeugt wird.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Es sei ein Element mit für eine natürliche Zahl . Zeige, dass dann schon zu gehört.

Was bedeutet dies für ?

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.


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