Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 8

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Hauptidealbereiche

Die Summe von Hauptidealen und der Durchschnitt von Hauptidealen ist wieder ein Ideal, aber im Allgemeinen kein Hauptideal. Damit hängt zusammen, dass weder ein größter gemeinsamer Teiler noch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von Elementen existieren muss. Eine besondere Situation liegt daher vor, wenn überhaupt jedes Ideal ein Hauptideal ist. Dies trifft auf und auf ( ein Körper) zu.


Definition  

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.



Euklidische Bereiche sind Hauptidealbereiche



Satz  

Beweis  

Sei ein von verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Dabei ist die Inklusion „“ klar. Zum Beweis der Inklusion „“ sei gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt mit oder . Wegen und der Minimalität von kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .


Die beiden folgenden Sätze folgen direkt aus Satz 8.2, da sowohl als auch euklidische Bereiche sind. Wir geben zusätzlich noch jeweils einen spezifischen Beweis an.



Satz  

Ein Polynomring über einem Körper

ist ein Hauptidealbereich.

Beweis  

Sei ein von verschiedenes Ideal in . Betrachte die nicht-leere Menge

Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Die Inklusion ist klar. Zum Beweis von sei gegeben. Aufgrund von Satz 5.3 gilt

Wegen und der Minimalität von kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .




Satz  

Der Ring der ganzen Zahlen

ist ein Hauptidealbereich.

Beweis  

Zunächst ist ein Integritätsbereich. Es sei ein Ideal. Damit ist insbesondere eine (additive) Untergruppe von und hat nach Satz 5.2 die Gestalt . Damit handelt es sich um ein Hauptideal.




Teilbarkeitslehre in Hauptidealbereichen

Die folgende Aussage heißt Lemma von Bezout.



Satz  

Sei ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente eine Darstellung der .

Beweis  

Sei das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element mit . Wir behaupten, dass ein größter gemeinsamer Teiler der ist. Die Inklusionen zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Sei ein weiterer gemeinsamer Teiler der . Dann ist wieder , was wiederum bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus .

Im teilerfremden Fall ist .


Die folgende Kurzform wird auch oft als Lemma von Bezout bezeichnet.


Korollar

Sei ein Hauptidealbereich und seien zwei teilerfremde Elemente.

Dann kann man die als Linearkombination von und darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 8.5.


Die folgende Aussage heißt Lemma von Euklid.



Satz  

Sei ein Hauptidealbereich und . Es seien und teilerfremd und teile das Produkt . Dann teilt den Faktor .

Beweis  

Da und teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente mit . Die Voraussetzung, dass das Produkt teilt, schreiben wir als . Damit gilt

was zeigt, dass ein Vielfaches von ist.




Satz  

Sei ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

Beweis  

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Lemma 6.7 stets irreduzibel. Sei also umgekehrt irreduzibel, und nehmen wir an, dass das Produkt teilt, sagen wir . Nehmen wir an, dass kein Vielfaches von ist. Dann sind aber und teilerfremd, da eine echte Inklusionskette der Irreduzibilität von widerspricht. Damit teilt nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor .




Lemma  

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit darstellen als Produkt von irreduziblen Elementen.

Beweis  

Angenommen, jede Zerlegung enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette , wobei ein nicht-trivialer Teiler von ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber Aufgabe 7.5 ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.




Euklidischer Algorithmus

Definition  

Seien Elemente (mit ) eines euklidischen Bereichs mit euklidischer Funktion gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.



Satz  

Seien zwei Elemente eines euklidischen Bereiches mit euklidischer Funktion gegeben. Dann besitzt die Folge , , der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Es gibt ein (minimales) mit .
  3. Es ist
  4. Sei der erste Index derart, dass ist. Dann ist

Beweis  

  1. Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
  2. Solange ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen immer kleiner, so dass irgendwann der Fall eintreten muss.
  3. Wenn ein gemeinsamer Teiler von und von ist, so zeigt die Beziehung

    dass auch ein Teiler von und damit ein gemeinsamer Teiler von und von ist. Die Umkehrung folgt genauso.

  4. Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette


Mit dem euklidischen Algorithmus berechnet man also einen größten gemeinsamen Teiler. Indem man die im Algorithmus auftretenden Gleichungen von hinten nach vorne verwendet, erhält man auch eine Darstellung eines größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination von und .

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