Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 21/kontrolle

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Die Höhenfunktion auf dem projektiven Raum

Im projektiven Raum über einem Körper ist jeder Punkt gleichberechtigt, es gibt stets einen Automorphismus, der den einen Punkt in einen anderen Punkt überführt. Im projektiven Raum über unterscheiden sich aber dennoch die Punkte hinsichtlich ihrer arithmetischen Eigenschaften oder arithmetischen Komplexität. Da ist zum einen die Frage, über welchem Körper ein Punkt definiert werden kann. Da es nur endlich viele Koordinaten gibt und diese algebraische Zahlen sind, gehört jeder Punkt bereits zu für eine endliche Erweiterung , beispielsweise kann man

nehmen, was aber im Allgemeinen nicht der Körper von minimalen Grad sein muss, man denke an , der bereits über definiert ist. Natürlich gibt es im projektiven Raum unendlich viele Punkte mit rationalen Koordinaten. Daher erhebt sich die Frage, wie man bei einem fixierten Zahlkörper die Punkte sinnvoll in zunehmend größere endliche Teilmengen anordnen kann. Es bezeichnet , , die Standardbeträge eines Zahlkörpers .


Definition  Referenznummer erstellen

Es sei ein Zahlkörper und sei ein -Punkt mit den homogenen Koordinaten . Dann versteht man unter der Höhe (über ) von die reelle Zahl

Dieser Ausdruck existiert, da bis auf endlich viele Ausnahmen zu jedem nichtarchimedischen Betrag der Faktor gleich ist. Durch die Potenz mit dem lokalen Grad als Exponenten wird aus dem Standardbetrag der natürliche Betrag, siehe Bemerkung 20.8.


Beispiel  Referenznummer erstellen

Betrachten wir den rationalen Punkt . Wir müssen für die verschiedenen Beträge das Maximum bestimmen und die Ergebnisse miteinander multiplizieren. Für den archimedischen Betrag hat man direkt , gehen wir also die Primzahlen durch. Dabei wird das Maximum des Betrages im Minimum der zugehörigen Bewertungsordnung angenommen. Die kommt in der mittleren Koordinate mit Ordnung vor, was zum maximalen -Betrag führt. Die kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung vor, was zum maximalen -Betrag führt. Die kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung vor, was zum maximalen -Betrag führt. Die kommt in der zweiten Koordinate mit Ordnung vor, was für diese Komponente zum -Betrag führt, der aber irrelevant ist, da ja das Maximum mit genommen wird. Schließlich kommt die in der zweiten Koordinate mit Ordnung vor, was zum maximalen -Betrag führt, die anderen Beträge haben den Wert . Die Höhe des Punktes ist somit



Beispiel  Referenznummer erstellen

In besitzen die Punkte die Höhe . Wir beschränken uns nun auf Punkte der Form mit

und (, die Exponenten seien bis zum -ten Term positiv, danach negativ). Ein solcher Punkt hat die Höhe

wobei alle Faktoren sind. Das hintere Produkt ist einfach der Nenner der rationalen Zahl , die Höhe ist nach Aufgabe 21.2 eine natürliche Zahl. Bestimmen wir die Punkte , deren Höhe gleich ist. Ihre -Koordinate ist oder . Die Punkte der Höhe haben die -Koordinate . Die Punkte der Höhe haben die -Koordinate . Die Punkte der Höhe haben die -Koordinate , etc.




Lemma  Referenznummer erstellen

Es sei ein Zahlkörper und der projektive Raum über .

Dann ist die Höhe eine wohldefinierte Funktion

Beweis  

Es sei und . Aufgrund der Multiplikativität der Beträge ist

für jeden Betrag . Das überträgt sich auf die Maxima und auf die Potenzen derart, dass zwischen der mittels und der mittels berechneten Höhe der Faktor besteht. Dieser ist aber nach Satz Anhang 4.3 gleich . Da wir eine Koordinate gleich setzen können, und die unter sämtlichen Beträgen aus den Wert besitzt, ist das Maximum jeweils und daher ist die Höhe .




Lemma  Lemma 21.5 ändern

Es sei ein Zahlkörper, eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei .

Dann gilt für die Höhen die Beziehung

Beweis  

Es sei

Dann gilt für einen Betrag die Einschränkung mit einem Betrag und unter Verwendung von Satz Anhang 4.2 ergibt sich


Die im vorstehenden Lemma ausgedrückte Abhängigkeit vom Körper wird durch die folgende Definition überwunden.


Definition  Referenznummer erstellen

Es sei und sei ein Zahlkörper, über den der Punkt definiert ist. Dann nennt man

die absolute Höhe von .

Wegen Lemma 21.5 und der Gradformel gilt für eine Körperkette und einen Punkt

also ist die absolute Höhe in der Tat unabhängig vom Körper. Zur Berechnung der absoluten Höhe eines Punktes wählt man eine beliebige endliche Körpererweiterung , über den der Punkt definiert ist, und bestimmt


Beispiel  Referenznummer erstellen

Wir betrachten in den Punkt . Der Grad der Körpererweiterung ist . Für einen Betrag auf oberhalb des archimedischen Absolutbetrages ist und das ist auch die absolute Höhe (die man ja in diesem Fall direkt über ausrechnen kann). Die absolute Höhe von ist wegen der Potenzierungseigenschaft, siehe Lemma 21.8  (1). Ohne Gradbeschränkung gibt es also unendlich viele Punkte in mit einer absoluten Höhe .




Lemma  Lemma 21.8 ändern

Die absolute Höhe besitzt auf

(es wird also als aufgefasst) folgende Eigenschaften.

  1. Es ist für .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Es ist für .

Beweis  

Die Elemente seien jeweils aus einem Zahlkörper mit der Standardbetragsmenge .

  1. Man macht für jeden Betrag die Fallunterscheidung, ob

    ist oder nicht. Dies gilt dann auch für und für , woraus die Aussage folgt.

  2. Es sei ein Betrag. Bei ist die Aussage klar, ebenso wenn die beiden -Faktoren sind. Sei also . Dann ist
  3. Dies folgt durch eine Fallunterscheidung für die archimedischen und die nichtarchimedischen Beträge. Für die archimedischen Beträge verwendet man die Subadditivität des Potenzierens mit dem Exponenten

    Eine Fallunterscheidung entlang dem Vergleich zu ergibt

  4. Wir vergleichen die Höhe bezüglich . Nach Satz Anhang 4.3 ist

    Somit ist



Der Schrankensatz



Lemma  Lemma 21.9 ändern

Es sei ein Polynom vom Grad mit einer Faktorzerlegung

mit .

Dann gelten für die absolute Höhe die Abschätzungen

Beweis  


Der folgende Satz besagt, dass man mit Hilfe der absoluten Höhe und dem Grad der Körpererweiterung endliche Punktmengen beschreiben kann.



Satz  Satz 21.10 ändern

Zu jeder vorgegebenen Gradschranke und jeder Höhenschranke

ist die Menge

endlich.

Beweis  

Wir müssen nur Punkte der Form betrachten. Es seien die Schranken und fixiert und sei unterhalb der Schranke. D.h. dass in einer Körpererweiterung liegt, deren Grad ist, und . Es sei das Minimalpolynom zu , dessen Grad sei. Es liegt dann in die Faktorzerlegung (mit )

vor. Nach Aufgabe 21.14 stimmt die Höhe der mit der Höhe von überein. Nach Lemma 21.9 ist

Nach Aufgabe 21.13 unterbieten nur endlich viele -rationale Punkte eine vorgegebene Höhenschranke. Somit kommen nur endlich viele Polynome als Minimalpolynome in Frage und diese haben jeweils nur endlich viele Nullstellen.


Der Satz gilt auch für höherdimensionale projektive Räume.