Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 8

In den nächsten Vorlesungen nähern wir uns den elliptischen Kurven von einem wesentlich verschiedenen Blickwinkel an. Wir betrachten Gitter in $ℂ$ und die zugehörigen Restklassengruppen. Es ergibt sich schnell, dass diese komplexe eindimensionale Mannigfaltigkeiten mit einer Gruppenstruktur sind. Dass diese aber auch algebraisch realisierbar als elliptische Kurven über $ℂ$ sind, wird sich erst später zeigen.

Gitter

Definition

Es seien $v_{1}, \dots, v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im $ℝ^{n}$ . Dann heißt die Untergruppe $ℤ v_{1} \oplus \dots \oplus ℤ v_{n}$ ein Gitter im $ℝ^{n}$ .

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter, da die Erzeuger eine Basis des Raumes bilden. Als Gruppen sind sie isomorph zu $ℤ^{n}$ , hier interessieren aber auch Eigenschaften der Einbettung in $ℝ^{n}$ . Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu $ℚ^{n}$ gehören.

Satz

Zu einem Gitter $Γ = ℤ v_{1} \oplus \dots \oplus ℤ v_{n} \subseteq ℝ^{n}$

ist die topologische Restklassengruppe $ℝ^{n} / Γ$ isomorph zum $n$ -dimensionalen Torus $S^{1} \times \dots \times S^{1}$ (mit $n$ Faktoren).

Beweis

Nach Aufgabe 8.1 können wir davon ausgehen, dass $Γ$ das Standardgitter $ℤ e_{1} \oplus \dots \oplus ℤ e_{n}$ ist. Für dieses gilt

ℝ^{n} / (ℤ e_{1} \oplus \dots \oplus ℤ e_{n}) = (ℝ / ℤ e_{1}) \times \dots \times (ℝ / ℤ e_{n}) = S^{1} \times \dots \times S^{1} .

◻

Topologisch und gruppentheoretisch sind alle vollständigen Gitter zueinander äquivalent. Ein Gitter ist durch seine Basis festgelegt, aber nicht umgekehrt. Man kann aber einfach charakterisieren, ob zwei Basiselemente das gleiche Gitter erzeugen.

Lemma

Es seien $v_{1}, \dots, v_{n}$ und $w_{1}, \dots, w_{n}$ Basen im $ℝ^{n}$ .

Dann stimmen die zugehörigen Gitter $Γ = ℤ v_{1} \oplus \dots \oplus ℤ v_{n}$ und $Δ = ℤ w_{1} \oplus \dots \oplus ℤ w_{n}$ genau dann überein, wenn ihre Übergangsmatrix ganzzahlig mit Determinante $\pm 1$ ist.

Beweis

Es seien $M$ und $N$ die (reellen) Übergangsmatrizen zwischen den beiden Basen, dabei gilt

M \circ N = E_{n}

und

det M \cdot det N = 1

nach dem Determinantenmultiplikationsatz. Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus $v_{j} \in Δ$ , dass in

v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} c_{i j} w_{i}

die Koeffizienten $c_{i j}$ ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten $1$ oder $- 1$ sein müssen, da dies die einzigen Einheiten in $ℤ$ sind.

Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt

Γ \subseteq Δ \subseteq Γ

und damit Gleichheit.

◻

Im Folgenden beschränken wir uns auf den folgenden Spezialfall.

Definition

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen $ℂ$ versteht man ein vollständiges Gitter $Γ = ℤ v_{1} \oplus ℤ v_{2} \subset ℂ$ .

Korollar

Zwei reell linear unabhängige Paare $(u_{1}, u_{2})$ und $(v_{1}, v_{2})$ vom komplexen Zahlen

definieren genau dann das gleiche Gitter, wenn es eine invertierbare Matrix

$M = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in {GL}_{2} (ℤ)$

mit

$(\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) = M (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$

gibt.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Lemma 8.3.

◻

Beispielsweise stimmen die durch $1, i$ bzw. $1, 2 + i$ erzeugten Gitter überein, es besteht die Beziehung

(\begin{matrix} 1 \\ 2 + i \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})

bzw. umgekehrt

(\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 2 + i \end{matrix}) .

Komplexe Tori

Satz

Zu einem Gitter $Γ \subseteq ℂ$

ist die kanonische Abbildung $π : ℂ \to ℂ / Γ$ eine Überlagerung und der Quotientenraum $ℂ / Γ$ ist in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte komplexe Mannigfaltigkeit Dabei wird $π$ zu einer holomorphen Abbildung.

Beweis

Zu jedem Punkt $P \in ℂ / Γ$ und einem Urbildpunkt $Q \in ℂ$ gibt es eine offene Ballumgebung $Q \in U (Q, ϵ)$ , auf der die Einschränkung einen Homöomorphismus

π : U (Q, ϵ) ⟶ V

mit einer offenen Umgebung $V$ von $P$ induziert. Man wähle einfach $ϵ$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes im Gitter. Dabei sind die $U (Q, ϵ)$ zu verschiedenen Urbildpunkten von $P$ zueinander disjunkt und untereinander durch eine Verschiebung mit einem Gittervektor homöomorph. Damit ist die Abbildung $π : ℂ \to ℂ / Γ$ eine Überlagerung mit der Faser $Γ$ . Man erhält auf $V$ eine komplexe Karte, indem man einen Homöomorphismus zu einem $U (Q, ϵ)$ auswählt. Zu zwei solchen offenen Mengen $V_{1}$ und $V_{2}$ (zu Punkten $P_{1}, P_{2} \in ℂ / Γ$ ) seien $B_{1}, B_{2} \subseteq ℂ$ offene Bälle derart, dass die Einschränkungen $π_{1} : B_{1} \to V_{1}$ und $π_{2} : B_{2} \to V_{2}$ Homöomorphismen sind. Es sei $W = V_{1} \cap V_{2}$ und sei $U_{1} \subseteq B_{1}$ das Urbild von $W$ unter $π_{1}$ und $U_{2} \subseteq B_{2}$ das Urbild von $W$ unter $π_{2}$ . Da das Urbild von $W$ unter $π$ die disjunkte Vereinigung von zu $W$ homöomorphen Teilmengen ist, die durch eine Translation mit einem Element aus $Γ$ ineinander übergehen, ist

U_{1} = v + U_{2}

mit einem $v \in Γ$ . Die Abbildung

U_{1} ⟶ U_{2}, z ⟼ v + z,

beschreibt dann den Kartenwechsel, was zeigt, dass durch diese Karten eine wohldefinierte komplexe Struktur vorliegt.

Die Kompaktheit folgt aus Satz 8.2 oder daraus, dass eine Gittermasche ganz in einer beschränkten und abgeschlossenen, also kompakten Teilmenge von $ℂ$ liegt und dass Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen kompakt sind.

Die Holomorphie der Abbildung bezüglich der soeben etablierten komplexen Struktur auf dem Quotienten ist klar.

◻

Definition

Eine komplexe Mannigfaltigkeit $M$ , die zugleich eine Gruppe ist, für die die Gruppenverknüpfung

\circ : M \times M ⟶ M, (x, y) ⟼ x \circ y,

und die Inversenbildung

M ⟶ M, x ⟼ x^{- 1},

holomorph sind, heißt komplexe Lie-Gruppe.

Satz

Zu einem Gitter $Γ \subseteq ℂ$

ist der Quotientenraum $ℂ / Γ$ in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte kommutative komplexe Lie-Gruppe.

Beweis

Da $Γ \subset ℂ$ eine Untergruppe ist, ist die Restklassengruppe $ℂ / Γ$ eine kommutative Gruppe. Nach Satz 8.6 ist $ℂ / Γ$ auch eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Es ist also noch zu zeigen, dass die Gruppenaddition auf $ℂ / Γ$ und das Negative holomorphe Abbildungen sind. Dies ergibt sich aber im Wesentlichen aus den kommutativen Diagrammen

\begin{matrix} ℂ \times ℂ & \overset{+}{⟶} & ℂ \\ π \times π ↓ & ↓ π \\ ℂ / Γ \times ℂ / Γ & \overset{+}{⟶} & ℂ / Γ \end{matrix}

und

\begin{matrix} ℂ & \bar{⟶} & ℂ \\ π ↓ & ↓ π \\ ℂ / Γ & \bar{⟶} & ℂ / Γ & . \end{matrix}

◻

Definition

Unter einem komplexen Torus versteht man den Quotientenraum $ℂ / Γ$ zu einem Gitter $Γ \subseteq ℂ$ .

Statt von einem (eindimensionalen) komplexen Torus spricht man auch von einer komplex-elliptischen Kurve, dies vor allem aber dann, wenn man den Torus als glatte kubische Kurve in der projektiven Ebene realisiert hat, siehe Satz 12.14.

Bemerkung

Ein komplexer Torus (eine elliptische Kurve über $ℂ$ ) ist durch eine Vielzahl an Strukturen ausgezeichnet, die sich teilweise gegenseitig bedingen. Nach Satz 8.6 handelt es sich um eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, also eine riemannsche Fläche. Damit ist sie insbesondere eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit. Ihre topologische Gestalt ist schon in Satz 8.2 beschrieben worden, es handelt sich um einen Torus, ein Produkt der $1$ -Sphäre $S^{1}$ mit sich selbst, also $S^{1} \times S^{1}$ . Insbesondere ist ein komplexer Torus kompakt. Ferner ist ein komplexer Torus nach Satz 8.8 eine komplexe Lie-Gruppe, es gibt eine Addition auf ihr, die sie zu einer kommutativen Gruppe macht, bei der die Addition und die Negation holomorph sind. Die Abbildung

ℂ ⟶ ℂ / Γ

ist holomorph und ein Gruppenhomomorphismus, genauer ein Homomomorphismus von komplexen eindimensionalen Lie-Gruppen. Als topologische Gruppe bzw. als reelle Lie-Gruppe handelt es sich einfach um das Produkt der Kreisgruppe mit sich selbst. Die reelle Mannigfaltigkeitsstruktur und die Struktur als reelle Lie-Gruppe ist also für jeden komplexen Torus gleich. Dagegen hängen die Eigenschaften eines komplexen Torus als komplexe Mannigfaltigkeit bzw. als komplexe Lie-Gruppe wesentlich vom Gitter ab. Es gibt eine Vielzahl von unterschiedlichen komplexen Tori. Man kann auch so sagen, dass es auf der einen reellen Mannigfaltigkeit $S^{1} \times S^{1}$ eine Vielzahl an komplexen Strukturen gibt.

Liftungen

Satz

Zu einem Gitter $Γ \subseteq ℂ$

ist die Quotientenabbildung

$π : ℂ ⟶ ℂ / Γ$

die universelle Überlagerung des komplexen Torus $ℂ / Γ$ .

Beweis

Dass eine Überlagerung vorliegt, wurde schon in Satz 8.6 mitbewiesen. Da $ℂ = ℝ^{2}$ einfach zusammenhängend ist, handelt es sich um die universelle Überlagerung.

◻

Korollar

Die Fundamentalgruppe eines komplexen Torus ist

$ℤ \times ℤ$ .

Beweis

Dies folgt aus Satz 8.11 und Satz 7.9 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)).

◻

Lemma

Es sei $Γ \subseteq ℂ$ ein Gitter mit der Quotientenabbildung $π : ℂ \to ℂ / Γ$ und sei $φ : ℂ \to ℂ / Γ$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten stetigen Gruppenhomomorphismus

$\tilde{φ} : ℂ ⟶ ℂ$

mit $φ = π \circ \tilde{φ}$ .

Beweis

Da $π : ℂ \to ℂ / Γ$ die universelle Überlagerung und $ℂ$ einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Satz 15.3 (Topologie (Osnabrück 2008-2009)) eine eindeutig bestimmte stetige Liftung $\tilde{φ} : ℂ \to ℂ$ mit $φ = π \circ \tilde{φ}$ und $\tilde{φ} (0) = 0$ . Wir betrachten die stetige Abbildung

Ψ : ℝ^{2} \times ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (P, Q) ⟼ \tilde{φ} (P + Q) - \tilde{φ} (P) - \tilde{φ} (Q),

die für $(0, 0)$ den Wert $0$ besitzt. Es ist

\begin{matrix} π (\tilde{φ} (P + Q) - \tilde{φ} (P) - \tilde{φ} (Q)) & = π (\tilde{φ} (P + Q)) - π (\tilde{φ} (P)) - π (\tilde{φ} (Q)) \\ = φ (P + Q) - φ (P) - φ (Q) \\ = [0], \end{matrix}

da ja $φ$ ein Gruppenhomomorphismus ist. Somit ist $\tilde{φ} (P + Q) - \tilde{φ} (P) - \tilde{φ} (Q) \in Γ$ für alle $(P, Q)$ . Da $Ψ$ stetig und $Γ$ diskret ist, ist $Ψ$ konstant gleich $0$ . Also ist $\tilde{φ}$ ein Gruppenhomomorphismus.

◻

Korollar

Es sei $Γ \subseteq ℂ$ ein Gitter mit der Quotientenabbildung $π : ℂ \to ℂ / Γ$ und sei $φ : ℂ \to ℂ / Γ$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte $ℝ$ -lineare Abbildung

$\tilde{φ} : ℂ ⟶ ℂ$

mit $φ = π \circ \tilde{φ}$ .

Beweis

Dies folgt aus Lemma 8.13 und aus Aufgabe 8.18.

◻

Lemma

Es sei $Γ \subseteq ℂ$ ein Gitter mit der Quotientenabbildung $π : ℂ \to ℂ / Γ$ und sei $φ : ℂ \to ℂ / Γ$ ein holomorpher Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es ein $s \in ℂ$ mit $φ = π \circ μ_{s}$ , wobei $μ_{s}$ die Multiplikation mit $s$ bezeichnet.

Beweis

Nach Korollar 8.14 ist die eindeutig bestimmte Liftung $\tilde{φ} : ℂ \to ℂ$ zu $φ$ mit $\tilde{φ} (0) = 0$ bereits $ℝ$ -linear. Als Liftung zu einer holomorphen Abbildung ist sie selbst holomorph, also die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $s$ .

◻

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