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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 9/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Einheiten von und von , wobei ein Körper sei.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem kommutativen Ring folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

  1. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  2. Ist ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem Integritätsbereich zwei Elemente und genau dann assoziiert sind, wenn für die Hauptideale gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl bezeichne den Exponenten, mit dem die Primzahl in der Primfaktorzerlegung von vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt .

c) Finde eine Fortsetzung der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei mit der Multiplikation und mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.


Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal . Zeige, dass die Ordnung

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. .
  2. .
  3. Es ist genau dann, wenn ist.
  4. Es ist genau dann, wenn ist.


Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element , , die Ordnung

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, der Polynomring über und der Körper der rationalen Funktionen über . Es sei . Wir setzen

  1. Zeige, dass ein Unterring von ist.
  2. Zeige
  3. Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei , , und . Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.

  1. Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer Ableitung mit .
  2. Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von in irreduzible Polynome.
  3. Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe eine formale Potenzreihe über , die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.


Aufgabe Aufgabe 9.12 ändern

Zeige, dass der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen über einem Körper ein kommutativer Ring ist.


Es seien und Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe Aufgabe 9.13 ändern

Es sei ein Körper und der Potenzreihenring. Zeige, dass die Abbildung

die einer Potenzreihe ihren konstanten Koeffizienten zuordnet, ein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe Aufgabe 9.14 ändern

Es sei ein Körper, das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung . Definiere einen - Algebrahomomorphismus

mit , wobei den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung und sei

der - Algebrahomomorphismus aus Aufgabe 9.14. Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die Ordnung von Elementen nicht ändert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu an.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für das Polynom die Potenzreihe zu bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und der Potenzreihenring Zeige, dass es in keine Quadratwurzel für gibt. Zeige ferner, dass für das Element eine Quadratwurzel in besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper. Eine formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil ist eine unendliche Summe der Form

Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen (mit geeigneten Ringoperationen) isomorph zum Quotientenkörper des Potenzreihenringes ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man die konstante Potenzreihe nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich ) der eingesetzten Potenzreihe im Sinne von Definition 9.18.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für das Polynom

über die Umkehrreihe bis zur Ordnung .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne zum Polynom über dem Körper die Koeffizienten der Potenzreihe

mit .


Aufgabe * Aufgabe 9.25 ändern

Es sei ein Körper und sei eine formale Potenzreihe mit und , die wir als schreiben. Es sei die Potenzreihe mit und . Zeige .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die Kosinusreihe die Potenzreihe zu bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das Polynom

über die Umkehrreihe bis zur Ordnung .


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne zum Polynom über dem Körper die Koeffizienten der Potenzreihe

mit .