Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/16/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	1	5	4	7	3	3	5	5	5	3	5	7	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Eine Summe

   $\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$

   mit Skalaren ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.

2. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

   $AB$

   diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

   ${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

   gegeben sind.

3. Die Relation ${}R$ heißt transitiv, wenn aus ${}xRy$ und ${}yRz$ stets ${}xRz$ folgt.
4. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert.
6. Die Ereignisse ${}E$ und ${}F$ heißen unabhängig, wenn

   ${}P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\,$

   ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${}{\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}R$ mit der kanonischen Projektion

   $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].$

   Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass ${}q$ ein Ringhomomorphismus

   ist.
2. Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt

   $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

   aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.
3. Zu jedem ${}\alpha <{\frac {1}{2}}$ konvergiert die Folge

   ${\frac {1}{2^{n}}}{\left(\sum _{k=0}^{\lfloor \alpha n\rfloor }B_{{\frac {1}{2}},n}(k)\right)}$

   gegen ${}0$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}5x-7y-4z&=&0\\2x+y-3z&=&0\\7x+6y-2z&=&0\,\end{matrix}}$

nur die triviale Lösung ${}(0,0,0)$ besitzt.

Lösung

Wir rechnen

${}II'=II-{\frac {2}{5}}I={\frac {19}{5}}y-{\frac {7}{5}}z=0\,$

und

${}III'=III-{\frac {7}{5}}I={\frac {79}{5}}y+{\frac {18}{5}}z=0\,.$

Somit ist

${}5\cdot 79\cdot II'-5\cdot 19\cdot III'=(-7\cdot 79-18\cdot 19)z=-895z=0\,.$

Daraus ergibt sich ${}z=0$, aus ${}II'$ ergibt sich ${}y=0$ und aus ${}I$ ergibt sich ${}x=0$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{2}$ eine lineare Abbildung mit

${}\varphi (e_{1})={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\,,$

${}\varphi (e_{2})={\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\,$

und

${}\varphi (e_{3})={\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\,.$

Berechne ${}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}&=\varphi {\left(3e_{1}-4e_{2}+2e_{3}\right)}\\&=3\varphi (e_{1})-4\varphi (e_{2})+2\varphi (e_{3})\\&=3{\left({\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\right)}-4{\left({\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\right)}+2{\left({\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\right)}\\&={\begin{pmatrix}3\cdot 5-4\cdot 3+2\cdot 4\\3\cdot 7-4\cdot (-3)+2\cdot (-11)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Bei einem vollständigen ungerichteten Graphen mit ${}4$ Ecken ist jede Ecke mit jeder (anderen) Ecke verbunden. Zeichne einen solchen Graphen in der Ebene ohne Überschneidungen.

Lösung

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
3. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$ und ${}x+18$ Primzahlen sind?

Lösung

1. Die Zahlen ${}5,11,17,23,29$ sind Primzahlen.
2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von ${}x,x+6,x+12,x+18,x+24$ bei Division durch ${}5$. Wenn ${}r$ der Rest von ${}x$ ist, so sind die anderen Reste gleich ${}r+1,r+2,r+3,r+4$. Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest ${}0$ besitzen, also ein Vielfaches von ${}5$ sein. Da ${}x=5$ ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein.
3. Die Zahlen ${}41,47,53,59$ sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

${}x'=2^{-1}\cdot {\left(x+{\frac {c}{x}}\right)}\,$

des Heron-Verfahrens in ${}\mathbb {Z} /(5)$ für ${}c=3$. Zeige, dass für sämtliche Startglieder ${}x_{0}\neq 0$ stets eine nichtkonstante Folge entsteht.

Lösung

Wir berechnen

${}f(x)=2^{-1}{\left(x+{\frac {3}{x}}\right)}=3{\left(x+{\frac {3}{x}}\right)}=3x+4x^{-1}\,.$

Dabei ergibt sich die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}f(x)$	${}2$	${}3$	${}2$	${}3$

Egal mit welchem Startglied man beginnt, spätestens ab ${}x_{1}$ ist man bei ${}2$ oder bei ${}3$ und diese beiden Zahlen wechseln sich dann ab.

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert, aber ${}x_{n}-y_{n}$ nicht konvergiert.
2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert, aber ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ nicht konvergiert.
3. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert. Es gebe ein ${}a>0$ mit

   ${}y_{n}\geq a\,$

   für alle ${}n$. Zeige, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert.

Lösung

1. Es sei

   ${}x_{n}=n^{2}+n\,$

   und

   ${}y_{n}=n^{2}\,$

   für ${}n\geq 1$. Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {n^{2}+n}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}\,.$

   Dies konvergiert gegen ${}1$. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}=n^{2}+n-n^{2}=n\,$

   konvergiert nicht.

2. Es sei

   ${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

   und

   ${}y_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,.$

   Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\frac {1}{n}}{\frac {1}{n^{2}}}}={\frac {n^{2}}{n}}=n\,.$

   Dies konvergiert nicht. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}\,$

   konvergiert gegen ${}0$, da beide Folgen Nullfolgen sind.

3. Wir schreiben

   ${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,,$

   wobei ${}z_{n}$ nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Damit ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}&={\frac {y_{n}+z_{n}}{y_{n}}}\\&=1+{\frac {z_{n}}{y_{n}}}.\end{aligned}}$

   Dabei ist

   ${}\vert {\frac {z_{n}}{y_{n}}}\vert =\vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{y_{n}}}\vert \leq \vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{a}}\vert \,$

   eine Nullfolge. Somit konvergiert die Quotientenfolge gegen ${}1$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0{,}{\overline {142857}}$

gegeben ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}0{,}{\overline {142857}}&=142857\cdot 0{,}{\overline {000001}}\\&=142857\cdot {\frac {1}{999999}}\\&={\frac {142857}{999999}}\\&={\frac {5291}{37037}}\\&={\frac {481}{3367}}\\&={\frac {37}{259}}\\&={\frac {1}{7}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Konzepten Terme und Polynome.

Lösung Polynom und Term/Diskussion/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P\neq 0$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$.
2. Es gibt ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$, ${}Q\neq 0$, mit ${}Q(z)=0$.
3. Es gibt ein normiertes Polynom ${}R\in \mathbb {Q} [X]$ mit ${}R(z)=0$.

Lösung

Die Implikation (1) ${}\Rightarrow$ (2) ist unmittelbar klar, da ganze Zahlen rational sind und man somit ${}Q=P$ nehmen kann.

Es sei (2) erfüllt und sei

${}Q=s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\,$

mit ${}s_{i}\in \mathbb {Q}$, ${}s_{n}\neq 0$ und ${}Q(z)=0$. Wegen ${}s_{n}\neq 0$ ist auch ${}s_{n}^{-1}$ eine rationale Zahl. Wir multiplizieren ${}Q$ mit ${}s_{n}^{-1}$ und erhalten

${}{\begin{aligned}R&:=s_{n}^{-1}Q\\&=s_{n}^{-1}{\left(s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\right)}\\&=X^{n}+s_{n}^{-1}\cdot s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{n}^{-1}\cdot s_{2}X^{2}+s_{n}^{-1}\cdot s_{1}X+s_{n}^{-1}\cdot s_{0}.\end{aligned}}$

Dies ist ein normiertes Polynom, die Koeffizienten sind nach wie vor rational und es ist auch

${}R(z)=(s_{n}^{-1}Q)(z)=s_{n}^{-1}\cdot Q(z)=0\,.$

Es sei nun (3) erfüllt, und

${}R=X^{n}+t_{n-1}X^{n-1}+\cdots +t_{2}X^{2}+t_{1}X+t_{0}\,$

mit ${}t_{i}\in \mathbb {Q}$ und ${}R(z)=0$. Es ist

${}t_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

mit ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, ${}b_{i}\neq 0$. Wir setzen

${}{\begin{aligned}P&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}R\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}{\left(X^{n}+{\frac {a_{n-1}}{b_{n-1}}}X^{n-1}+\cdots +{\frac {a_{2}}{b_{2}}}X^{2}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}X+{\frac {a_{0}}{b_{0}}}\right)}\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}X^{n}+b_{0}b_{1}\cdots b_{n-2}a_{n-1}b_{n}X^{n-1}+\cdots +b_{0}b_{1}a_{2}b_{3}\cdots b_{n-1}X^{2}+b_{0}a_{1}b_{2}\cdots b_{n-1}X+a_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}.\end{aligned}}$

Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten, ist nicht das Nullpolynom und es ist nach wie vor

${}P(z)=0\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{4}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Lösung

Wir setzen ${}x=y-{\frac {3}{4}}$ an und drücken das Polynom bzw. die Gleichung in ${}y$ aus. Es ist

${}{\begin{aligned}x^{4}&={\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{4}\\&=y^{4}-4{\frac {3}{4}}y^{3}+6{\frac {9}{16}}y^{2}-4{\frac {27}{64}}y+{\frac {81}{256}}\\&=y^{4}-3y^{3}+{\frac {27}{8}}y^{2}-{\frac {27}{16}}y+{\frac {81}{256}},\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}3x^{3}&=3{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{3}\\&=3{\left(y^{3}-3{\frac {3}{4}}y^{2}+3{\frac {9}{16}}y-{\frac {27}{64}}\right)}\\&=3y^{3}-{\frac {27}{4}}y^{2}+{\frac {81}{16}}y-{\frac {81}{64}},\end{aligned}}$

${}-5x^{2}=-5{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{2}=-5{\left(y^{2}-{\frac {3}{2}}y+{\frac {9}{16}}\right)}=-5y^{2}+{\frac {15}{2}}y-{\frac {45}{16}}\,$

und

${}2x=2{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}=2y-{\frac {3}{2}}\,.$

Insgesamt ergibt sich also

${}{\begin{aligned}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7&=y^{4}+{\left({\frac {27}{8}}-{\frac {27}{4}}-5\right)}y^{2}+{\left(-{\frac {27}{16}}+{\frac {81}{16}}+{\frac {15}{2}}+2\right)}y+{\left({\frac {81}{256}}-{\frac {81}{64}}-{\frac {45}{16}}-{\frac {3}{2}}-7\right)}\\&=y^{4}-{\frac {67}{8}}y^{2}+{\frac {103}{8}}y-{\frac {3139}{256}}.\,\end{aligned}}$

Eine äquivalente Gleichung ist also

${}y^{4}-{\frac {67}{8}}y^{2}+{\frac {103}{8}}y-{\frac {3139}{256}}=0\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

stetig ist.

Lösung

Sei ${}b>1$. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da die Folge ${}{\sqrt[{n}]{b}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}1$ konvergiert, und da die rationale Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven ${}\epsilon$ ein positives ${}\delta$ mit der Eigenschaft, dass aus

${}\vert {x}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {1-b^{x}}\vert \leq \epsilon \,$

folgt. Es sei nun ${}x$ beliebig und ${}\epsilon$ vorgegeben. Wir betrachten ein ${}\delta$, das zu

${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b^{x}}}\,$

die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Satz 53.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (1) für ${}x'$ mit

${}\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {b^{x}-b^{x'}}\vert =\vert {b^{x}{\left(1-b^{x'-x}\right)}}\vert =\vert {b^{x}}\vert \cdot \vert {1-b^{x'-x}}\vert \leq b^{x}\cdot {\frac {\epsilon }{b^{x}}}=\epsilon \,.$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Für die Eulersche Zahl ${}e$ seien die Abschätzungen

${}2,71\leq e\leq 2,72\,$

bekannt.

1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{2}$ sagen?
2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{-1}$ sagen?

Lösung

1. Es ist

   ${}2{,}71\cdot 2{,}71=7{,}3441\,$

   und

   ${}2{,}72\cdot 2{,}72=7{,}3984\,.$

   Somit ist

   ${}7{,}3441\leq e^{2}\leq 7{,}3984\,$

   und die Ziffernentwicklung von ${}e^{2}$ beginnt mit ${}7{,}3$, die zweite Nachkommaziffer liegt zwischen ${}4$ und ${}9$, über die weiteren Nachkommaziffern kann man keine Aussage machen.

2. Es ist

   ${}1:2{,}71=0{,}369...\,$

   und

   ${}1:2{,}72=0{,}367...\,.$

   Somit hat man die Abschätzungen

   ${}0{,}367\leq e^{-1}\leq 0{,}370\,.$

   Die Dezimalentwicklung von ${}e^{-1}$ beginnt also mit ${}0{,}36$, (${}3{,}7$ ist ausgeschlossen, da die Division durch ${}2{,}71$ nicht auf die Periode ${}9$ führt) die dritte Nachkommaziffer ist ${}7$ oder ${}8$ oder ${}9$, über die folgenden Stellen kann man keine Aussage machen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}a,b,x,y$ positive reelle Zahlen und es gelte

${}a^{x}<b^{y}\,.$

Zeige, dass es positive rationale Zahlen ${}c,z$ mit

${}a^{x}<c^{z}<b^{y}\,$

gibt.

Lösung

Es sei ${}x_{n}$ eine rationale echt fallende Folge (bei ${}a\geq 1$; bei ${}a<1$ wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen ${}x$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis ${}a$ konvergiert auch ${}a^{x_{n}}$ gegen ${}a^{x}$. In jedem Fall ist dies eine (bei ${}a\neq 1$) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales ${}z=x_{n}$ mit

${}a^{x}\leq a^{z}<b^{y}\,.$

Die Funktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,a\longmapsto a^{z},$

ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach Korollar 51.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) und [[Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))]] ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge ${}a_{n}$, die gegen ${}a$ konvergiert, dass auch ${}a_{n}^{z}$ gegen ${}a^{z}$ konvergiert. Wir wählen die Folge ${}a_{n}$ echt fallend, sodass auch ${}a_{n}^{z}$ echt fallend ist. Für ${}n$ hinreichend groß ist dann

${}a^{x}\leq a^{z}<a_{n}^{z}<b^{y}\,,$

und wir können ${}c=a_{n}$ wählen.

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

In einem Kurs nehmen ${}n$ Personen teil. Für die Person ${}i$ ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich ${}q_{i}$. Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich ${}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}$ ist.
2. Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich ${}{\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}$ ist.
3. Zeige, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist.

Lösung

1. Wir modellieren die Situation mit dem Wahrscheinlichkeitsraum

   ${}M={\left\{(i,x)\mid i=1,\ldots ,n,\,x=f,b\right\}}={\{1,\ldots ,n\}}\times \{f,b\}\,$

   (der erste Index ${}i$ durchläuft die Personen, der zweite Index die Möglichkeiten Durchfallen oder Bestehen) mit den Wahrscheinlichkeiten

   ${}P(i,f)={\frac {q_{i}}{n}}\,$

   und

   ${}P(i,b)={\frac {1-q_{i}}{n}}\,.$

   ${}P(i,f)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Person ${}i$ betrachtet wird und dass sie durchfällt. Es sei ${}F$ das Ereignis, das aus allen Paaren ${}(i,f)$ besteht. Die Wahrscheinlichkeit für ${}F$ ist

   ${}{\begin{aligned}P(F)&=\sum _{i=1}^{n}P(i,f)\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{n}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}.\end{aligned}}$

2. Hierfür betrachten wir den Produktraum ${}{\{1,\ldots ,n\}}\times \{f,b\}\times \{f,b\}$, wir lassen also im Modell alle Personen auch die zweite Klausur schreiben. Die Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden und beide Male durchzufallen, ist ${}{\frac {1}{n}}q_{i}q_{i}$. Es sei ${}F_{1}$ das Ereignis, bei der ersten Klausur durchzufallen, und ${}F_{2}$ das Ereignis, bei der zweiten Klausur durchzufallen. Es geht dann um die bedingte Wahrscheinlichkeit für ${}F_{2}$ unter der Bedingung ${}F_{1}$. Diese ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {P(F_{1}\cap F_{2})}{P(F_{1})}}&={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}q_{i}q_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}.\end{aligned}}$

3. Wir müssen

   ${}{\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}\geq \sum _{i=1}^{n}q_{i}\,$

   zeigen, was auf

   ${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}&\geq {\frac {1}{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\right)}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}+{\frac {2}{n}}\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\end{aligned}}$

   führt. Dies ist äquivalent zu

   ${}(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}\geq 2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\,$

   bzw. zu

   ${}(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}-2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\geq 0\,.$

   Nun ist aber

   ${}{\begin{aligned}\sum _{i<j}(q_{i}-q_{j})^{2}&=\sum _{i<j}(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}-2q_{i}q_{j})\\&=(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}-2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\end{aligned}}$

   als eine Summe von Quadraten nichtnegativ.