Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/17/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 4 9 3 3 5 5 7 2 1 8 2 8 63




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Gerade in Punktvektorform im .
  2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    bezüglich der Standardbasen.

  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  4. Ein Dedekindscher Schnitt.
  5. Der trigonometrische Punkt zu einem Winkel .
  6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.


Lösung

  1. Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen affinen Unterraum der Form

    mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .

  2. Die -Matrix

    wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, heißt die beschreibende Matrix zu .

  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
    1. .
    2. Aus folgt .
    3. Aus und folgt .
  4. Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
    1. und sind nicht leer.
    2. d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.

    3. Für jedes und jedes ist .
    4. Zu gibt es ein mit .
  5. Zu einem Winkel (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen lange bewegt, den trigonometrischen Punkt zu diesem Winkel.
  6. Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Exponentialreihe.
  2. Die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
  3. Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.


Lösung

  1. Für die Exponentialfunktion zur Basis gilt die Darstellung
  2. Für die trigonometrischen Funktionen

    und

    gelten die Additionstheoreme

    und

  3. Es seien [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|endliche Wahrscheinlichkeitsräume]] und

    der Produktraum. Es seien Ereignisse , , ... , gegeben und es seien die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also

    Dann sind die Ereignisse

    vollständig unabhängig.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .


Lösung

Durch Umnummerieren kann man erreichen. Es sei die Gleichung

(mit ) und die Gleichung

Dann hat die Gleichung

die Gestalt

in der nicht mehr vorkommt. Wegen sind die Gleichungssysteme äquivalent.


Aufgabe (9 (1+1+7) Punkte)

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

6 2 3
4 1 2
0 5 2
2 1 5

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?


Lösung

a) Die Matrix ist

da in der -ten Spalte die für das -te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.

b) Die benötigte Rohstoffmenge ist

c) Es geht um das lineare Gleichungssystem

das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache lösen, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom -fachen der dritten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile ab und erhalten

Jetzt ziehen wir von der dritten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab und erhalten

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Alle Lösungen des linearen Gleichungssystems haben somit die Form

mit . Wegen der ersten Zeile muss sein und damit ist auch die vierte Zeile erfüllt. Die zweite Zeile führt auf die Bedingung

also

Die dritte Zeile führt auf die Bedingung

also

Damit alle Einträge nichtnegativ sind, muss der Parameter aus

gewählt werden.


Aufgabe (3 Punkte)

Für ein doppelverpacktes Geschenk soll eine würfelförmige Schachtel in eine etwas größere würfelförmige Schachtel hineingelegt werden. Bestimme auf unterschiedliche Arten, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.


Lösung

Wir denken uns den größeren Würfel fest.

Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Seite auszusuchen, die der Boden sein soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten.

Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Ecke auszusuchen, die mit einer fixierten Ecke der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten

Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Kante auszusuchen, die mit einer fixierten Kante der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

Somit ist

Daher ist das inverse Element zu in .


Aufgabe (5 Punkte)

Vergleiche


Lösung

Wir fragen uns, ob

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu

Dies ist äquivalent zu

Quadrieren liefert

was stimmt. Also ist


Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.


Lösung

Wir behaupten, dass die Folge gegen konvergiert. Zunächst haben wir die Abschätzung

Sei nun fixiert. Wir zeigen, dass die Folgenglieder für hinreichend groß oberhalb von liegen. Es ist

und somit gilt für hinreichend groß die Abschätzung

Für solche ist dann auch

Also hat man für diese Folgenglieder die Abschätzung

Daraus folgt die Behauptung.


Aufgabe (7 (1+3+3) Punkte)

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen , , entsteht ( ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

  1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
  2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls , , ausdrückt.
  3. Es gibt genau eine rationale Zahl , die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.


Lösung

  1. Das zweite Intervall ist .
  2. Die -te untere Intervallgrenze ist

    und die -te obere Intervallgrenze ist entsprechend, da das -te Intervall die Länge besitzt,

    Die Formel für beweist man durch Induktion über , bei ist sie richtig (bei auch, da die leere Summe als zu interpretieren ist). Zum Nachweis des Induktionsschrittes kann man vom Intervall

    ausgehen. Die Länge des Folgeintervalls ist ein Zehntel davon, also , und da man das achte nehmen muss, muss man zur alten unteren Grenze dazuaddieren.

  3. Wir behaupten

    Wenn man nämlich die schriftliche Division durchführt, so erhält man wegen

    dass sämtliche Dezimalziffern nach dem Komma gleich sind. Nach Lemma 28.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) ist daher

    Dies bedeutet genau die Zugehörigkeit zu den angegebenen Intervallen.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

Bestimme .


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

eine quadratische Gleichung mit . Zeige, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden

und des Kreises

die Lösungen der quadratischen Gleichung sind.


Lösung

Es sei ein Schnittpunkt der Geraden und des Kreises. Dann ist

Nach dem Satz von Vieta (genauer der Umkehrung) sind und die Lösungen der quadratischen Gleichung.


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei eine positive reelle Zahl und

die zugehörige Exponentialfunktion. Zeige

für alle unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.


Lösung

Wir beschränken uns auf den Fall und . Es sei eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen konvergiert, und es sei eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen konvergiert. Dann konvergiert nach Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (2) die Folge gegen . Somit konvergiert auch gegen . Wegen

für rationale Argumente ist also noch zu zeigen, dass gegen konvergiert. Sei dazu ein positives vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gegen gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Wegen der Stetigkeit von , die für jedes auf der Stetigkeit des Potenzierens und des Wurzelziehens beruht, und wegen der Konvergenz von gegen , gibt es wegen der Folgenstetigkeit zu jedem ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Insgesamt ist also für (dabei gehöre zu ) wegen der Monotonie

und somit


Aufgabe (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von ist?


Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

Es ist und und . Da als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .


Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Die Zahlen darin seien mit bezeichnet, wobei sich auf die Zeilennummer und auf die Position in der Zeile bezieht. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man

setzt. Dies legt rekursiv jede Zeile fest.

  1. Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile bis Zeile ).
  2. Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ist.
  3. Zeige, dass in der -ten Zeile die Zahlen , , der Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeit und zur Stichprobenlänge stehen.


Lösung

  1. Es ergibt sich das folgende Schema.
  2. Der Induktionsanfang ist klar, da in der nullten Zeile eine einzige steht. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei bereits bewiesen, dass die Summe in der -ten Zeile gleich ist. Jeder Eintrag der -ten Zeile geht zweifach in die nächste Zeile ein, nämlich einmal mit dem Faktor nach links und einmal mit dem Faktor nach rechts. Insgesamt wird dabei die Ausgangszahl auf die beiden Nachfolger in der folgenden Zeile verteilt. Die Gesamtsumme ändert sich dabei nicht und ist also wieder gleich .
  3. Es ist

    Für ist

    was mit der nullten Zeile übereinstimmt. Es gilt nach Lemma 13.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019))

    D.h. die Zahlen in der Binomialverteilung erfüllen also die rekursive Bedingungen aus Teil (1). Daher stehen in der -ten Zeile des Dreiecks die Zahlen der Binomialverteilung.