Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 3 4 3 1 3 2 2 3 5 3 5 4 4 3 1 3 3 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Basis im .
  2. Eine lineare Abbildung , wobei einen Körper bezeichnet.
  3. Elementare Zeilenumformungen an einer -Matrix über einem Körper .
  4. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .
  5. Eine Relation auf einer Menge .
  6. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .


Lösung

  1. Die Vektoren im heißen eine Basis des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann.
  2. Die Abbildung heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    1. für alle .
    2. für alle und .
  3. Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
    1. Vertauschung von zwei Zeilen.
    2. Multiplikation einer Zeile mit .
    3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
  4. Die Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix mit

    gibt.

  5. Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
  6. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
    1. .
    2. Aus folgt .
    3. Aus und folgt .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .
  2. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
  3. Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über in den Variablen . Es sei eine Variable, die in mindestens einer Gleichung mit einem von verschiedenen Koeffizienten vorkommt. Dann lässt sich jede von verschiedene Gleichung durch eine Gleichung ersetzen, in der nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem , das aus und den Gleichungen besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ist.
  2. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

    über einem Körper ist ein Untervektorraum des

    (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
  3. Durch die Festlegung

    wenn

    wird eine Äquivalenzrelation auf definiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Lösung

Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten

und

Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten

Somit ist

und

Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.


Lösung

Wir rechnen

und

Somit ist

Daraus ergibt sich , aus ergibt sich und aus ergibt sich .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Lösung

Es soll einerseits

und andererseits

sein. Wegen

ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Lösung

Es ist

aber


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Lösung

Es ist eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.


Lösung Geraden/Q^2/Lösungsverhalten/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

Bestimme sämtliche Punkte .


Lösung

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist . Es ist gleich

und gleich

Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt

also

Somit ist

und

Es ist also

Der Durchschnitt wird durch das lineare Gleichungssystem

beschrieben. Die Lösungsmenge ist

Für

ergibt sich dabei der einzige Punkt aus . Somit ist insgesamt


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Lösung

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis des nachweisen. Es ist

Dabei sind die Koeffizienten

gerade die Einträge in der Produktmatrix .


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Für jede Linearkombination in gilt


Lösung

  1. Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist

    Addition mit dem negativen Element zu , also mit , ergibt

  2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für

    ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable . Das resultierende System ist ()

Wir eliminieren nun aus mittels die Variable , das ergibt

()

Wir können jetzt dieses System lösen, wobei die anderen Variablen eindeutig festlegt. Sei . Dann ist . Damit ist

Schließlich ist

Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Gartentoreverbindung.png

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.


Lösung Häuser/Gartentor/Verbindung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge , die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.


Lösung

Die Potenzmenge besteht aus den Elementen

Eine vollständige Auflistung aller Teilmengenbeziehungen ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ist:


Lösung

Es ist ein Teiler von

daher ist , was die Reflexivität bedeutet. Sei . Dies bedeutet, dass ein Teiler von ist, was wiederum bedeutet, dass

mit einem gewissen ist. Durch Multiplikation mit erhält man

Also ist auch ein Teiler von und somit ist , was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich und . Somit ist

und

mit gewissen . Insgesamt ergibt sich

so dass auch ein Vielfaches von ist. Also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem , die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Lösung

Wegen

ist , die Relation ist also reflexiv. Es sei nun . Dies bedeutet

Somit ist auch

und damit ist auch , was die Symmetrie bedeutet. Sei schließlich und . Dies bedeutet

und

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

was bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.


Lösung

Da der Funktionswert eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar . Wenn ist, so bedeutet das und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt , was wiederum bedeutet. Wenn und ist, so bedeutet dies einerseits und andererseits . Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt , was bedeutet.