Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Fixkörper}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{ \operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von $L$. Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fix}\, ( H )
}
{ =} { { \left\{ x \in L \mid \varphi(x) = x \text { für alle } \varphi \in H \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der \definitionswort {Fixkörper}{} zu $H$.
}
Es ist unmittelbar klar, dass es sich dabei um einen \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $L$ handelt. Dies gilt auch dann, wenn $H$ eine beliebige Menge von Ringendomorphismen ist, die nicht notwendigerweise bijektiv sein müssen.
\inputbemerkung
{}
{
Zur trivialen Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{
\operatorname{Id} \}
}
{ \subseteq }{ \operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört der Fixkörper $L$, und für jede andere Untergruppe ist der Fixkörper ein echter Unterkörper. Den Fixkörper zur gesamten Automorphismengruppe kann man dagegen nicht einfach charakterisieren
\zusatzklammer {es ist nicht immer der
\definitionsverweis {Primkör\-per}{}{}} {} {.}
}
{Galoisgruppe und Fixkörper/Einfache Korrespondenzeigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von $L$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Für
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_1
}
{ \subseteq }{H_2
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fix}\, ( H_1 )
}
{ \supseteq }{ \operatorname{Fix}\, ( H_2 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_1
}
{ \subseteq }{ M_2
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M_1 )
}
{ \supseteq }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M_2 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \operatorname{Fix}\, ( H ) )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für einen Unterkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Fix}\, ( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 15.3. }
\zwischenueberschrift{Charakterisierung von Galoiserweiterungen}
Wir streben eine umfassende Charakterisierung von Galoiserweiterungen an, was einige Vorbereitungen erfordert.
\inputfaktbeweis
{Körper/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Normal und separabel/Gradbedingung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{\operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von $L$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \operatorname{Fix}\, ( H )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {algebraische Körpererweiterung}{}{,}
die
\definitionsverweis {normal}{}{}
und
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.}
\faktzusatz {Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist der Grad des
\definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{}
von $x$ über $K$ maximal gleich
\mathl{{ \# \left( H \right) }}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
fixiert. Wir betrachten die endliche Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ \varphi(x) \mid \varphi \in H \right\} }
}
{ =} { \{x_1 , \ldots , x_n \}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ \defeq} {(X-x_1)(X-x_2) \cdots (X-x_n)
}
{ =} {a_0+a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_{n-1}X^{n-1}+X^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{\in L[X]}{}} {} {.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir zeigen zuerst, dass die Koeffizienten $a_i$ dieses Polynoms zu $K$ gehören. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^n \varphi(a_i) X^{i}
}
{ =} { \prod_{i = 1} ^n (X- \varphi(x_i) )
}
{ =} { \prod_{i = 1} ^n (X- x_i)
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n a_i X^{i}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(a_i)
}
{ = }{a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit gehören die Koeffizienten zum Fixkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \operatorname{Fix}\, ( H )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass $x$
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$ ist, und dass sein Minimalpolynom einen Grad
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
}
{ \leq} { \operatorname{ Grad}_{ } ^{ } { \left( F \right) }
}
{ =} {n
}
{ =} { { \# \left( M \right) }
}
{ \leq} { { \# \left( H \right) }
}
}
{}{}{}
besitzt. Da $F$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt, und da alle Nullstellen von $F$ einfach sind, ist die Erweiterung normal und separabel.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {EmilArtin.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Emil Artin (1898-1962)} }
\bildlizenz { EmilArtin.jpg } {Konrad Jacobs} {Wero} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}
Der folgende Satz heißt \stichwort {Satz von Artin} {.}
\inputfaktbeweis
{Satz von Artin/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Gradgleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{ \operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von $L$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \operatorname{Fix}\, ( H )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ =} { { \# \left( H \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $H$.}
\faktzusatz {}
}
{
Nehmen wir an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{ \# \left( H \right) }
}
{ < }{\operatorname{grad}_{ K} L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} ist. Wir können annehmen, dass $L$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
über $K$ ist, da wir $L$ durch einen
\zusatzklammer {über $K$ endlichen} {} {}
Zwischenkörper der Form
\mathl{K[ \varphi(x_i), \varphi \in H ,\, i = 1 , \ldots , n]}{} mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach
Lemma 15.4
ist die Körpererweiterung
\definitionsverweis {separabel}{}{}
und nach
dem Satz vom primitiven Element
kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K[x]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von $x$ gleich dem Grad der Körpererweiterung, sodass sich ein Widerspruch zu
Lemma 15.4
ergibt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Körpererweiterung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{ \# \left( H \right) }
}
{ \geq }{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz 13.5
muss hierbei Gleichheit gelten.
\teilbeweis {}{}{}
{Die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist trivial. Da $H$ nach
Satz 13.5
schon die maximal mögliche Anzahl von $K$-Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit.}
{}
Der nächste Satz fasst die verschiedenen Charakterisierungen einer Galoiserweiterung zusammen.
\inputfaktbeweis
{Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fix}\, ( G )
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {normal}{}{}
und
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
}{$L$ ist
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
eines
\definitionsverweis {separablen Polynoms}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Fix}\, ( G )
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach der
Gradformel
und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} \operatorname{Fix}\, ( G ) \cdot \operatorname{grad}_{ \operatorname{Fix}\, ( G )} L
}
{ =} { \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ =} { { \# \left( G \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach dem
Satz von Artin
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ \operatorname{Fix}\, ( G )} L
}
{ = }{ { \# \left( G \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} \operatorname{Fix}\, ( G )
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus
Lemma 15.4.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus
Satz 14.5.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K[x_1 , \ldots , x_m]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{}
\mathl{F_i \in K[X]}{} der $x_i$ zerfallen wegen der Normalität in
\mathl{L[X]}{} in Linearfaktoren. Daher können wir
Lemma 12.6
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
anwenden und erhalten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Einbettungen von $L$ nach $L$
\zusatzklammer {über $K$} {} {,}
und somit besitzt die Galoisgruppe $n$ Elemente.}
{}
\inputfaktbeweis
{Endliche Galoiserweiterung/Galois über Zwischenkörper/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper.}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 14.2 (3)
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{.}
Nach
Lemma 12.4
ist sie auch
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
Somit handelt es sich aufgrund von
Satz 15.6
um eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}
\zwischenueberschrift{Endliche Körper als Galoiserweiterung}
Wir besprechen zuerst endliche Körper im Rahmen der Galoistheorie.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {GeorgFrobenius.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917)} }
\bildlizenz { GeorgFrobenius.jpg } {unbekannt} {Furfur} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte. Der \definitionswort {Frobeniushomomorphismus}{} ist der
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {R} { R} { f} {f^p} {.}
}
Zu jeder Primzahl $p$ und jedem Exponenten $m$ gibt es nach Satz 11.9 einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{} mit $p^m$ Elementen.
\inputfaktbeweis
{Endlicher Körper/Frobenius/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\Phi} {L} {L
} {x} {x^p
} {,}
ein
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{,}
dessen
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
\mathl{\Z/(p)}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
ergibt sich aus
Korollar 6.8,
und daraus ergibt sich die
\definitionsverweis {Surjektivität}{}{}
wegen der Endlichkeit aus
Lemma 3.14 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)).
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Phi(1)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
werden die Elemente aus
\mathl{\Z/(p)}{} auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es $p$ Elemente in $K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^p
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mehr kann es wegen
Korollar Anhang 1.5
nicht geben.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mathl{m \in \N}{,}
\mathl{q=p^m}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ p }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {zyklischen}{}{}
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$m$, die vom
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
erzeugt wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabbdisp {\Phi} { {\mathbb F}_{ q } } { {\mathbb F}_{ q }
} {}
der
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{,}
der nach
Lemma 15.9
ein ${\mathbb F}_{ p }$-Automorphismus ist. Daher sind auch die
\definitionsverweis {Iterationen}{}{}
\mathl{\Phi^k}{} Automorphismen, und zwar gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi^k (x)
}
{ =} { x^{p^k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
nach Korollar 4.17
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{p^m}
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in {\mathbb F}_{ q }}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Phi^m
}
{ = }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ < }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann
\mathl{\Phi^k}{} nicht die Identität sein, da dies sofort
Korollar Anhang 1.5
widersprechen würde. Also gibt es $m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach
Satz 13.5
kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körper/Endliche Erweiterung/Galois/Zwischenkörper/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathkor {} {K} {und} {L} {}
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{}
mit
\mathkor {} {p^m} {bzw.} {p^n} {}
Elementen.}
\faktfolgerung {Dann ist $K$ genau dann ein Unterkörper von $L$, wenn $m$ ein Teiler von $n$ ist.}
\faktzusatz {In diesem Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
vom Grad
\mathl{n/m}{} mit einer
\definitionsverweis {zyklischen}{}{}
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\mathl{n/m}{,} die von der $m$-ten
\definitionsverweis {Iteration}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobenius}{}{}
erzeugt wird.}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $K$ ein Unterkörper von $L$ ist, so ist $L$ ein $K$-Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Element\-anzahl von $L$ eine Potenz von $q$ sein. Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p^n
}
{ =} {q^k
}
{ =} {(p^m)^k
}
{ =} { p^{mk}
}
{ } {
}
}
{}{}{} ergibt sich sofort, dass $n$ ein Vielfaches von $m$ ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt $m$ ein Teiler von $n$. Die Frobenius\-iteration
\mathl{\Phi^{m}}{} auf $L$ erzeugt eine Untergruppe $H$ der nach
Satz 15.10
zyklischen Galoisgruppe von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ p }
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Ordnung von $H$ ist
\mathl{n/m}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \operatorname{Fix}\, ( H )
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{.}
Dann besitzt die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Korollar 15.7
den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{n/m}{} und somit besitzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ p }
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Grad $m$. Daher besitzt $M$ gerade $p^m$ Elemente und ist daher wegen
Satz 11.9
isomorph zu $K$.}
{}
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