Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 17

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Primzahl und sei eine Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass die Galoisgruppe von über entweder genau eine oder genau zwei Untergruppen besitzt. Wie viele Zwischenkörper besitzt die Körpererweiterung, wann ist die Erweiterung galoissch?


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe . Zeige, dass die Zuordnung

die einer Untergruppe ihren Fixkörper zuordnet, stets injektiv ist.


Aufgabe

Sei eine Primzahl. Erstelle Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung für . Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus?


Aufgabe

Es sei eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe

wobei eine Primzahl sei. Bestimme die Untergruppen der Galoisgruppen und skizziere ein Inklusionsdiagramm für die Untergruppen, die Zwischenkörper und die Potenzmenge von .


Aufgabe

Bestimme die Nullstellen von in Beispiel 17.9 und beschreibe, wie die Automorphismen auf diesen Nullstellen wirken. Welche Nullstellen sind konjugiert?


Aufgabe

Bestimme die Zwischenkörper in Beispiel 17.9.


Aufgabe *

Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe und es seien Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern und . Zeige, dass der Durchschnitt gleich dem Fixkörper zu ist, wobei die von und erzeugte Untergruppe bezeichnet (das ist die kleinste Untergruppe von , die sowohl als auch enthält).


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper. Beschreibe den Frobeniushomomorphismus als Abbildung von in sich selbst. Woran erkennt man nach dieser Übersetzung die Bijektivität des Frobenius? Wie sehen die Iterationen aus? Wie kann man die Fixelemente zu einer solchen Iteration als Kern beschreiben?


Aufgabe

Wir betrachten den Körper mit Elementen. Für welche Untergruppen ist ein Körper, für welche nicht?


Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).


Aufgabe

Es sei eine Galoiserweiterung derart, dass die Galoisgruppe einfach sei. Zeige, dass ein Zwischenkörper , , nur dann galoissch über ist, wenn er gleich oder ist.


Aufgabe

Sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass eine Untergruppe besitzt, die kein Normalteiler ist.


Aufgabe

Es seien und Galoiserweiterungen derart, dass ihre Galoisgruppen und isomorph sind. Stifte eine inklusionserhaltende Bijektion zwischen den Zwischenkörper der ersten und den Zwischenkörpern der zweiten Erweiterung.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Galoiserweiterung und sei , , ein Zwischenkörper. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Für alle ist .
  2. Die Untergruppe ist nur zu sich selbst konjugiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass irreduzibel ist. Zeige, dass die Körpererweiterung

galoissch ist, bestimme die Galoisgruppe und sämtliche Zwischenkörper.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die Gruppe der bijektiven Abbildungen auf einer dreielementigen Menge. Bestimme die Untergruppen von und welche zueinander konjugiert sind. Welche Untergruppen sind Normalteiler? Man gebe eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe an und bestimme die zu den Untergruppen gehörenden Zwischenkörper.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine zyklische Gruppe. Zeige, dass genau dann einfach ist, wenn endlich und ihre Ordnung eine Primzahl ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein irreduzibles separables Polynom. Es sei vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von kommutativ sei. Zeige, dass dann ist.



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