Kurs:Lineare Algebra/Teil I/40/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	2	0	0	0	3	0	6	6	4	0	4	0	3	4	44

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Eine Diagonalmatrix.
3. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.
4. Ein Fehlstand zu einer Permutation

   $\pi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$

5. Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

6. Ein affiner Unterraum ${}F\subseteq E$ in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.
2. Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

   ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$

   nennt man Diagonalmatrix.

3. Eine Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Vektoren in ${}V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
4. Ein Indexpaar

   ${}i<j\,$

   heißt ein Fehlstand zu ${}\pi$, wenn ${}\pi (i)>\pi (j)$ ist.

5. Zu einer linearen Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ der Dimension ${}n$ heißt eine Fahne

   $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$

   ${}f$-invariant, wenn ${}f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle ${}i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.

6. Eine Teilmenge ${}F\subseteq E$ heißt affiner Unterraum, wenn

   ${}F=P+U\,$

   ist, mit einem Punkt ${}P\in E$ und einem ${}K$- Untervektorraum ${}U\subseteq V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Basisaustauschlemma.
2. Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
3. Der Determinantenmultiplikationssatz.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei ${}w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung

   ${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$

   wobei ${}s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes ${}k$. Dann ist auch die Familie

   $v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$

   eine Basis von ${}V$.
2. Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ gibt es einen Untervektorraum ${}W\subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung

   ${}V=U\oplus W\,$

   vorliegt.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

   ${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

In einer U-Bahn-Station wird der Zugang und der Ausgang über eine elektronische Karte geregelt, die man an einen Sensor halten muss, damit sich die Schranke öffnet. Es gibt 5 Ausgänge, aber nur 2 Zugänge. Was haben sich die Leute dabei vermutlich gedacht?

Lösung U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst

${}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.$

Dies bedeutet

${}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,$

und

${}(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,.$

Dies bedeutet einerseits ${}x\in A$ und andererseits ${}y\in B$. Also ist ${}(x,y)\in A\times B$.

Wenn umgekehrt ${}(x,y)\in A\times B$ gilt, so ist ${}x\in A$ und ${}y\in B$. Wegen der Teilmengenbeziehungen ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ ist

${}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,$

und

${}(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,$

und damit auch

${}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}7$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Lösung

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.

$(0,0),\,(7,0),\,(0,7),\,(7,7),\,(4,10),\,(4,0),\,(0,4),\,(7,4),\,(1,10),\,(1,0).$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear ist.

Lösung

Seien ${}w_{1},w_{2}\in W$. Wegen der Bijektivität gibt es eindeutige ${}v_{1},v_{2}\in V$ mit ${}\varphi (v_{1})=w_{1}$ und ${}\varphi (v_{2})=w_{2}$. Somit ist

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(w_{1}+w_{2})&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2}))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1}+v_{2}))\\&=v_{1}+v_{2}\\&=\varphi ^{-1}(w_{1})+\varphi ^{-1}(w_{2}).\end{aligned}}$

Entsprechend ist (mit ${}s\in K$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(sw)&=\varphi ^{-1}(s\varphi (v))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (sv))\\&=sv\\&=s\varphi ^{-1}(w).\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien ${}v_{1j},\ldots ,v_{m_{j}j}\in V_{j}$ und ${}a_{ij}\in K$. Zeige

${}\Phi {\left(\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i1}v_{i1},\ldots ,\sum _{i=1}^{m_{n}}a_{in}v_{in}\right)}=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{i_{1}1}\cdots a_{i_{n}n}\Phi {\left(v_{i_{1}1},\ldots ,v_{i_{n}n}\right)}\,.$

Lösung Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist.

Lösung

Es seien zwei Permutationen ${}\pi$ und ${}\rho$ gegeben. Dann ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi \circ \rho )&=\prod _{i<j}{\frac {(\pi \circ \rho )(j)-(\pi \circ \rho )(i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j}{\frac {(\pi \circ \rho )(j)-(\pi \circ \rho )(i)}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}\prod _{i<j}{\frac {\rho (j)-\rho (i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)<\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (j))-\pi (\rho (i))}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)>\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (j))-\pi (\rho (i))}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\rho )\\&={\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)<\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (j))-\pi (\rho (i))}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)>\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (i))-\pi (\rho (j))}{\rho (i)-\rho (j)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\rho )\\&=\prod _{k<\ell }{\frac {\pi (\ell )-\pi (k)}{\ell -k}}\operatorname {sgn} (\rho )\\&=\operatorname {sgn} (\pi )\operatorname {sgn} (\rho ).\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}n$ verschiedene Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und Zahlen ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom ${}Q$ vom Grad ${}n$ gibt, das ${}Q(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ erfüllt.

Lösung

Nach dem Interpolationssatz für Polynome gibt es ein Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq n-1$ mit ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$. Wir betrachten das Polynom

${}R=(X-a_{1})(X-a_{2})\cdots (X-a_{n})\,.$

Dieses ist ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$, das an den Stellen ${}a_{i}$ den Wert ${}0$ annimmt. Deshalb ist

${}Q:=P+R\,$

ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$ mit

${}Q(a_{i})=P(a_{i})+R(a_{i})=b_{i}\,,$

womit die Existenz gezeigt ist. Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien ${}Q$ und ${}Q'$ normierte Polynome vom Grad ${}n$ mit ${}Q(a_{i})=b_{i}=Q'(a_{i})$. Dann besitzt ${}Q-Q'$ einen Grad ${}\leq n-1$, das an den ${}n$ Stellen den Wert ${}0$ besitzt. Deshalb ist es nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) das Nullpolynom und somit ist ${}Q=Q'$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

${}M={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\-3&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}x+{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\\3&x+{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\\&={\left(x+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {3}{4}}\\&=x^{2}+x+1.\end{aligned}}$

Die Eigenwerte kann man aus der vorletzten Zeile direkt ablesen; diese sind

$x_{1}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,x_{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}.$

Zur Berechnung der Eigenräume setzen wir die Eigenwerte für ${}x$ in die obige Matrix ein und bestimmen den Kern.

Für ${}x_{1}$ ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&-{\frac {1}{4}}\\3&{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}},$

der Kern wird vom Vektor

$\left({\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}},\,-3\right)$

erzeugt. Also ist

${}E_{1}={\mathbb {C} }\left({\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}},\,-3\right)\,.$

Für ${}x_{2}$ ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}-{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&-{\frac {1}{4}}\\3&-{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}},$

der Kern wird vom Vektor

$\left({\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}},\,3\right)$

erzeugt. Also ist

${}E_{2}={\mathbb {C} }\left({\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}},\,3\right)\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Gleichung

${}4x-9y=5\,,$

es sei ${}L$ die Lösungsmenge.

1. Zeige, dass ${}P={\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}$ und ${}Q={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$ affin-unabhängige Punkte von ${}L$ sind.
2. Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von

   ${}R={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}\in L\,$

   bezüglich ${}P$ und ${}Q$.

Lösung

1. Es sind offenbar Punkte von ${}L$, und da sie verschieden sind, sind sie affin-unabhängig.
2. Es ist

   ${}{\overrightarrow {PQ}}={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-33\\-{\frac {44}{3}}\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\overrightarrow {PR}}={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {63}{2}}\\-14\end{pmatrix}}\,.$

   Somit ist

   ${}{\overrightarrow {PR}}={\begin{pmatrix}-{\frac {63}{2}}\\-14\end{pmatrix}}={\frac {21}{22}}{\begin{pmatrix}-33\\-{\frac {44}{3}}\end{pmatrix}}={\frac {21}{22}}{\overrightarrow {PQ}}\,$

   Also sind die baryzentrischen Koordinaten von ${}R=P+{\frac {21}{22}}{\overrightarrow {PQ}}$ nach Fakt ***** gleich

   ${\frac {1}{22}}P+{\frac {21}{22}}Q.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.

Lösung

Es sei ${}i_{0}\in I$. Es gibt nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})={\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}\,,$

für alle ${}i\in I\setminus \{i_{0}\}$. Dann ist

${}\psi (R)=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}R}})\,$

eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung ${}\psi$ durch den linearen Anteil und durch den Wert an einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass

${}\psi _{0}=\varphi \,$

sein muss.