Kurs:Lineare Algebra/Teil I/42/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	5	2	2	2	0	3	0	7	6	5	7	0	0	3	4	0	53

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Die transponierte Matrix zu einer ${}m\times n$-Matrix ${}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$.
3. Eine Linearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$, wobei ${}K$ ein Körper ist.
4. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

6. Ein affiner Unterraum eines ${}K$- Vektorraumes ${}V$.

Lösung

1. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.
2. Man nennt die Matrix

   ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$

   die transponierte Matrix zu ${}M$.

3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung

   $V\longrightarrow K$

   heißt auch eine Linearform auf ${}V$.

4. Ein Element ${}\lambda \in K$ heißt ein Eigenwert zu ${}\varphi$, wenn es einen von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in V$ mit

   ${}\varphi (v)=\lambda v\,$

   gibt.

5. Zu einer linearen Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ der Dimension ${}n$ heißt eine Fahne

   $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$

   ${}f$-invariant, wenn ${}f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle ${}i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.

6. Unter einem affinen Unterraum von ${}V$ versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form

   ${}w+U={\left\{w+u\mid u\in U\right\}}\,,$

   wobei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}w\in V$ ein Vektor ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Basisergänzungssatz.
2. Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
3. Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien

   $u_{1},\ldots ,u_{k}$

   linear unabhängige Vektoren in ${}V$. Dann gibt es Vektoren

   $u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

   derart, dass

   $u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

   eine Basis

   von ${}V$ bilden.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der gleichen Dimension ${}n$. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung. Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\varphi$ surjektiv ist.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Dann ist ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms

   ${}\chi _{\varphi }$ ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?

Lösung

Vorvorvorvorvorvorgestern.

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Lösung

1. Der Mittelpunkt von ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ besitzt die Koordinaten ${}\left({\frac {a_{1}+b_{1}}{2}},\,{\frac {a_{2}+b_{2}}{2}}\right)$.
2. Wir betrachten für jeden Punkt, ob die Koordinaten gerade oder ungerade sind. Dafür gibt es vier Möglichkeiten ($(g,g),\,(g,u),\,(u,g)\,(u,u)$). Da es ${}5$ Punkte gibt, kommt eine dieser Möglichkeiten zumindest zweimal vor. Seien ${}P$ und ${}Q$ zwei Punkte, die hinsichtlich dieser Eigenschaft übereinstimmen. Da das arithmetische Mittel von zwei geraden Zahlen und von zwei ungeraden Zahlen ganzzahlig ist, besitzt der Mittelpunkt von ${}P$ und ${}Q$ ganzzahlige Koordinaten.
3. Die vier Punkte

   $(0,0),\,(0,1),\,(1,0)\,,(1,1)$

   zeigen, dass dies nicht gelten muss.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}D$ die Menge aller reellen ${}2\times 2$-Matrizen

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},$

die die Bedingung

${}a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0\,$

erfüllen. Zeige, dass ${}D$ kein Untervektorraum im Raum aller ${}2\times 2$-Matrizen ist.

Lösung

Die beiden Matrizen ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$ gehören offenbar zu ${}D$. Ihre Summe ist

${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

und für diese Summe ist der entscheidende Ausdruck gleich

${}1\cdot 1-0\cdot 0=1\neq 0\,.$

Die Teilmenge ${}D$ ist also nicht unter Addition abgeschlossen und kann daher kein Untervektorraum des Matrizenraums sein.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{2}$ eine lineare Abbildung mit

${}\varphi (e_{1})={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\,,$

${}\varphi (e_{2})={\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\,$

und

${}\varphi (e_{3})={\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\,.$

Berechne ${}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}&=\varphi {\left(3e_{1}-4e_{2}+2e_{3}\right)}\\&=3\varphi (e_{1})-4\varphi (e_{2})+2\varphi (e_{3})\\&=3{\left({\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\right)}-4{\left({\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\right)}+2{\left({\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\right)}\\&={\begin{pmatrix}3\cdot 5-4\cdot 3+2\cdot 4\\3\cdot 7-4\cdot (-3)+2\cdot (-11)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W$

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung ist.

Lösung

Für ${}u_{1},u_{2}\in U$ ist

${}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(u_{1}+u_{2})&=\psi (\varphi (u_{1}+u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1})+\varphi (u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1}))+\psi (\varphi (u_{2}))\\&=(\psi \circ \varphi )(u_{1})+(\psi \circ \varphi )(u_{2})\end{aligned}}$

und für ${}u\in U$, ${}s\in K$ ist

${}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(su)&=\psi (\varphi (su))\\&=\psi (s\varphi (u))\\&=s\psi (\varphi (u))\\&=s(\psi \circ \varphi )(u),\end{aligned}}$

was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&8&0\\3&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}1&8&0\\3&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&8&0\\0&-22&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&8&0\\0&-22&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-3&1&-{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&8&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {3}{22}}&-{\frac {1}{22}}&{\frac {1}{44}}\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{11}}&{\frac {4}{11}}&-{\frac {2}{11}}\\{\frac {3}{22}}&-{\frac {1}{22}}&{\frac {1}{44}}\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.

Lösung

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Korollar 12.16 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gezeigt. Es seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass ${}v_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}$ ist. Dann ist nach Satz 16.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Satz 16.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))

${}\det M=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{i}\end{pmatrix}}=0\,.$

Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von ${}0$ verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gleich ${}1$ ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix ${}\neq 0$ sein.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.

Lösung

Es sei

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,.$

Wir schreiben die ${}i$-te Zeile der Matrix als ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j}$. Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen

${}{\begin{aligned}\det M&=\det {\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}e_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{nj}e_{j}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,n\}^{n}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\det {\begin{pmatrix}e_{j_{1}}\\\vdots \\e_{j_{n}}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\det {\begin{pmatrix}e_{\pi (1)}\\\vdots \\e_{\pi (n)}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\operatorname {sgn} (\pi ).\end{aligned}}$

Hierbei beruht die vorletzte Gleichung darauf, dass die Determinante von ${}{\begin{pmatrix}e_{j_{1}}\\\vdots \\e_{j_{n}}\end{pmatrix}}$ gleich ${}0$ ist, sobald ein Vektor ${}e_{j}$ mehrfach vorkommt, und man daher nur über die Permutationen aufsummieren muss. Die letzte Gleichung beruht darauf, dass man durch eine Anzahl an Zeilenvertauschungen aus ${}{\begin{pmatrix}e_{j_{1}}\\\vdots \\e_{j_{n}}\end{pmatrix}}$ die Einheitsmatrix mit Determinante ${}1$ erhält. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich die Determinante um ${}-1$ und dies entspricht der Änderung des Signums bei einer Transposition.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,$

ein normiertes Polynom über einem Körper ${}K$. Es seien ${}u,v,w$ drei (verschiedene) Zahlen aus ${}K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von ${}P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

erfüllen.

Lösung

Nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist eine Zahl ${}u\in K$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}X-u$ ein Linearfaktor von ${}P$ ist. Da ${}u,v,w$ verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von ${}P$ genau dann, wenn

${}P=(X-u)(X-v)(X-w)\,$

ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man

${}(X-u)(X-v)(X-w)=X^{3}-(u+v+w)X^{2}+(uv+uw+vw)X-uvw\,.$

Dies stimmt mit ${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d$ genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

gilt. Dies ist das angegebene Gleichungssystem.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für Polynome.

Lösung

Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen

${}I={\left\{Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\mid Q_{i}\in K[X]\right\}}\,.$

Dies ist ein Ideal von ${}K[X]$, wie man direkt überprüft. Nach Fakt ***** ist dieses Ideal ein Hauptideal, also

${}I=(E)\,$

mit einem gewissen Polynom ${}E$. Es ist ${}E$ ein gemeinsamer Teiler der ${}P_{i}$. Wegen ${}P_{i}\in I=(E)$ ist nämlich

${}P_{i}=H_{i}E\,,$

d.h. ${}E$ ist ein Teiler von jedem ${}P_{i}$. Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist

${}P_{i}\in (G)\,$

für alle ${}i$ und damit auch

${}(E)=I\subseteq (G)\,.$

Also ist

${}E=GF\,.$

Da nach Voraussetzung ${}G$ den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss ${}F\neq 0$ eine Konstante sein. Also ist

${}(G)=(E)=I\,$

und insbesondere ${}G\in I$. Also ist ${}G$ eine Linearkombination der ${}P_{i}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$

als Urbild über ${}(1,2)$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.

Lösung

Der Richtungsvektor ${}{\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen ${}\left(4,\,-5,\,0\right)$ und ${}\left(0,\,1,\,-2\right)$. Daher machen wir den Ansatz

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4x-5y+a\\y-2z+b\end{pmatrix}}\,.$

Für den Aufpunkt ${}{\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung

${}\psi {\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14+a\\-10+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,,$

also ist ${}a=-13$ und ${}b=12$. Somit ist

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4x-52y-13\\y-2z+12\end{pmatrix}}\,$

die gesuchte Abbildung.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}7x+13y-17z+w=2\,.$

Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$

gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind

${\begin{pmatrix}-13\\7\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\17\\13\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\17\end{pmatrix}}$

Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems ${}1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-13\\7\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-13\\7\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\17\\13\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\17\\13\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\17\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\19\end{pmatrix}}$

eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung