Kurs:Lineare Algebra/Teil I/49/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	7	4	8	3	8	3	2	3	6	5	3	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper ${}K$.
3. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.
6. Eine baryzentrische Kombination in einem affinen Raum ${}E$.

Lösung

1. Die Menge

   ${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

   heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

2. Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
3. Man nennt

   ${}\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

   den Kern von ${}\varphi$.

4. Ein Element ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von ${}\varphi$, wenn

   ${}\varphi (v)=\lambda v\,$

   mit einem gewissen ${}\lambda \in K$ gilt.

5. Das Polynom

   ${}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$

   heißt charakteristisches Polynom von ${}M$.

6. Zu einer Familie ${}P_{i}$, ${}i\in I$, von Punkten in ${}E$ und einem Zahltupel ${}a_{i}$, ${}i\in I$, mit

   ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1\,$

   heißt die Summe ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ baryzentrische Kombination der ${}P_{i}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
2. Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
3. Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist

   ${}\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}\,.$

2. Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. Damit ist folgendes gemeint: es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ mit Basen

   ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$

   Es seien

   $\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W$

   lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von ${}\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$ die Beziehung

   $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi )).$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Zu ${}i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$-te Zeile und die ${}j$-te Spalte weglässt. Dann ist (bei ${}n\geq 2$ für jedes feste ${}i$ bzw. ${}j$)

   ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.

Lösung erstellen

Aufgabe (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel ${}(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Lösung

Es sei ${}m$ das Maximum der beteiligten vier Zahlen ${}a,b,c,d$. Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann ${}0$ wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen ${}0$ sind. Da alle Zahlen aus ${}\mathbb {N}$ sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum definitiv nicht größer bei einer Iteration. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar (zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl) des Maximums gleich ${}0$ ist. Wir müssen (durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln) nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form

$(m,0,x,y)$

mit  ${}x,y\leq m$  hat. Wenn  ${}x=y=0$  ist, so liefert die Abbildung

$(m,0,0,m).$

Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei

$(m,0,x,0)$

mit  ${}x\neq 0$  ergibt sich im nächsten Schritt

$(m,x,x,m),$

was keine Nullen mehr hat. Bei

$(m,0,0,y)$

mit  ${}y\neq 0$  ergibt sich im nächsten Schritt

$(m,0,y,m-y).$

Bei  ${}y<m$  besitzt dies nur eine Null, bei  ${}y=m$  sind wir in einem schon behandelten Fall. Es sei das Tupel jetzt

$(m,0,x,y)$

mit

${}0<x,y\leq m\,.$

Das Ergebnis ist

$(m,x,\vert {x-y}\vert ,m-y).$

Bei  ${}x=m$  ist dies

$(m,m,m-y,m-y)$

mit dem Folgetupel

$(0,y,0,y).$

Bei  ${}y<m$  besitzt dies ein kleineres Maximum, bei  ${}y=m$  ist das Folgetupel gleich

$(m,m,m,m),$

und davon ist das Folgetupel

$(0,0,0,0).$

Es sei also  ${}x<m$.  Das Folgetupel ist bei  ${}y=m$  gleich

${}(m,x,\vert {x-y}\vert ,m-y)=(m,x,m-x,0)\,,$

und dessen Folgetupel ist

$(m-x,\vert {m-2x}\vert ,m-x,m).$

Allenfalls in der dritten Position könnte eine ${}0$ stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von ${}m$, sodass das Folgetupel keine Null besitzt.

Das Folgetupel ist bei  ${}y<m$  gleich

$(m,x,\vert {x-y}\vert ,m-y),$

und dabei ist wieder allenfalls in der dritten Position eine ${}0$, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von ${}m$, sodass das Folgetupel keine Null besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+y&+z&+w&=&0\\-2x&+3y&\,\,\,\,-z&+2w&=&3\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2z&+5w&=&7\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+5z&+3w&=&1\,.\end{matrix}}$

Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable ${}y$, indem wir die erste Gleichung dreimal von der zweiten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf

${\begin{matrix}-5x&\,\,\,\,\,\,\,\,&-4z&\,\,\,\,-w&=&3\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2z&+5w&=&7\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+5z&+3w&=&1\,.\end{matrix}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${}x$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${}-5III+I$ und ${}3III+II$ ausrechnen. Dies führt auf

${\begin{matrix}&\,\,\,\,\,\,\,\,&-29z&-16w&=&-2\\&\,\,\,\,\,\,\,\,&17z&+14w&=&10\,.\end{matrix}}$

Mit ${}7I+8II$ ergibt sich

${}-67z=66\,$

und

${}z=-{\frac {66}{67}}\,.$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${}w={\frac {128}{67}}\,,$

${}x=-{\frac {13}{67}}\,$

und

${}y=-{\frac {49}{67}}\,.$

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W.$

Lösung

Es sei  ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$.  Es sei  ${}U=\operatorname {kern} \varphi \subseteq V$  der Kern der Abbildung und  ${}k=\dim _{K}{\left(U\right)}$  seine Dimension (${}k\leq n$). Es sei

$u_{1},\ldots ,u_{k}$

eine Basis von ${}U$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren

$v_{1},\ldots ,v_{n-k}$

derart, dass

$u_{1},\ldots ,u_{k},\,v_{1},\ldots ,v_{n-k}$

eine Basis von ${}V$ ist. Wir behaupten, dass

$w_{j}=\varphi (v_{j}),\,j=1,\ldots ,n-k,$

eine Basis des Bildes ist. Es sei  ${}w\in W$  ein Element des Bildes ${}\varphi (V)$. Dann gibt es ein  ${}v\in V$  mit  ${}\varphi (v)=w$.  Dieses ${}v$ lässt sich mit der Basis als

${}v=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\,$

schreiben. Dann ist

${}{\begin{aligned}w&=\varphi (v)\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi (u_{i})+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j},\end{aligned}}$

sodass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}w_{j}$ schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der ${}w_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n-k$, sei eine Darstellung der Null gegeben,

${}0=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j}\,.$

Dann ist

${}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=0\,.$

Also gehört ${}\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}$ zum Kern der Abbildung und daher kann man

${}\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}\,$

schreiben. Da insgesamt eine Basis von ${}V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten ${}0$ sein müssen, also sind insbesondere  ${}t_{j}=0$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&1&0\\7&2&1\\0&0&4\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\7&2&1\\0&0&4\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-5&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-7&1&0\\0&0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-7&1&-{\frac {1}{4}}\\0&0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {7}{5}}&-{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{20}}\\0&0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}-{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}\\{\frac {7}{5}}&-{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{20}}\\0&0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.

Lösung

Es sei  ${}v\in V$  fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass ${}\Psi (v)$ eine Linearform auf dem Dualraum ${}{V}^{*}$ ist. Offenbar ist ${}\Psi (v)$ eine Abbildung von ${}{V}^{*}$ nach ${}K$. Die Additivität ergibt sich aus

${}(\Psi (v))(f_{1}+f_{2})=(f_{1}+f_{2})(v)=f_{1}(v)+f_{2}(v)=(\Psi (v))(f_{1})+(\Psi (v))(f_{2})\,,$

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels

${}(\Psi (v))(sf)=(sf)(v)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f))\,.$

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien  ${}v,w\in V$.  Es ist die Gleichheit

${}\Psi (v+w)=\Psi (v)+\Psi (w)\,$

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ${}{\left({V}^{*}\right)}^{*}$ ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei  ${}f\in {V}^{*}$  beliebig. Dann folgt die Additivität aus

${}(\Psi (v+w))(f)=f(v+w)=f(v)+f(w)=(\Psi (v))(f)+(\Psi (w))(f)\,.$

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus

${}(\Psi (sv))(f)=f(sv)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f))\,.$

Zum Nachweis der Injektivität sei  ${}v\in V$  mit  ${}\Psi (v)=0$  gegeben. D.h. für alle Linearformen  ${}f\in {V}^{*}$  ist  ${}f(v)=0$.  Dann ist aber nach Lemma 14.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) schon

${}v=0\,$

und nach dem Injektivitätskriterium ist ${}\Psi$ injektiv.

Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Knopfloch-Raute entsteht aus der Merkel-Raute (bei der die Fingerspitzen der linken Hand ihr jeweiliges natürliches (anatomisches) Gegenüber der rechten Hand berühren), indem die linke Daumenspitze auf der rechten Daumenspitze bleibt, dann die linke Hand um ${}180$ Grad (um die linke Unterarmachse) gedreht wird (dazu muss man den Kontakt zwischen den anderen Fingerspitzen auflösen) und dann die Fingerspitzen der linken Hand ihre im Raum (nicht anatomisch) gegenüberliegen Fingerspitzen der rechten Hand berühren lässt. Diese Knopfloch-Raute wurde von Professor Knopfloch erfunden und ist inzwischen das Erkennungszeichen der Mitglieder des Vereins zur Förderung der Permutationen von Hand und Hirn.

a) Erstelle eine Wertetabelle für die Knopfloch-Raute, aufgefasst als bijektive Abbildung von der Menge der linken Finger in die Menge der rechten Finger.

b) Bestimme die Anzahl der Fehlstände der Knopfloch-Raute (dazu muss man die Fingermenge in natürlicher Weise durchnummerieren und die Knopfloch-Raute als eine Permutation auffassen).

c) Bestimme das Signum der Knopfloch-Raute.

Lösung

a)

${}x$	${}D$	${}Z$	${}M$	${}R$	${}K$
${}\kappa (x)$	${}D$	${}K$	${}R$	${}M$	${}Z$

Wenn man die Finger durchnummeriert, sieht es so aus:

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}\kappa (x)$	${}1$	${}5$	${}4$	${}3$	${}2$

b) Die ${}1$ gehört nie zu einem Fehlstand, dagegen sind sämtliche Paare

${}2\leq i<j\leq 5\,$

ein Fehlstand. Davon gibt es ${}6$ Stück.

c) Das Signum ist

${}(-1)^{6}=1\,,$

die Knopfloch-Permutation ist also gerade.

Aufgabe (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Lösung

Dies geht mit der Spirale des Theodorus. Wenn man die (bereits konstruierte) Quadratwurzel ${}{\sqrt {n}}$ als eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks nimmt mit einer zweiten Kathete der Länge ${}1$, so erhält man eine Hypotenuse der Länge ${}{\sqrt {n+1}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=6X^{3}+X+1$ und ${}T=3X^{2}+2X-4$ durch.

Lösung

Es ist insgesamt

$6X^{3}+X+1={\left(3X^{2}+2X-4\right)}{\left(2X-{\frac {4}{3}}\right)}+{\frac {35}{3}}X-{\frac {13}{3}}\,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$  und ${}n$ Elemente  ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$  gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom  ${}P\in K[X]$  vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass  ${}P(a_{i})=b_{i}$  für alle ${}i$ ist.

Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo  ${}b_{j}=0$  ist für alle  ${}j\neq i$  für ein festes ${}i$. Dann ist

$(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

ein Polynom vom Grad ${}n-1$, das an den Stellen ${}a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}$ den Wert ${}0$ hat. Das Polynom

${\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei ${}a_{i}$ den Wert ${}b_{i}$. Nennen wir dieses Polynom ${}P_{i}$. Dann ist

${}P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,$

das gesuchte Polynom. An der Stelle ${}a_{i}$ gilt ja

${}P_{j}(a_{i})=0\,$

für  ${}j\neq i$  und  ${}P_{i}(a_{i})=b_{i}$. 

Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Wir betrachten die komplexe Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.

b) Berechne ${}M^{2}$ und ${}M^{3}$.

c) Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für ${}M$ durch eine explizite Rechnung.

Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0\\0&X&0\\0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X-2&0&2\\-5&X-3+{\mathrm {i} }&0\\-{\mathrm {i} }&-3&X-4\end{pmatrix}}\\&={\left(X-2\right)}{\left(X-3+{\mathrm {i} }\right)}{\left(X-4\right)}+2{\left(15+{\mathrm {i} }{\left(X-3+{\mathrm {i} }\right)}\right)}\\&=X^{3}+{\left(-2-3+{\mathrm {i} }-4\right)}X^{2}+{\left(6-2{\mathrm {i} }+8+12-4{\mathrm {i} }+2{\mathrm {i} }\right)}X+8{\left(-3+{\mathrm {i} }\right)}+30+2{\mathrm {i} }{\left(-3+{\mathrm {i} }\right)}\\&=X^{3}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}X+4+2{\mathrm {i} }.\,\end{aligned}}$

b) Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}4-2{\mathrm {i} }&-6&-12\\25-5{\mathrm {i} }&8-6{\mathrm {i} }&-10\\15+6{\mathrm {i} }&21-3{\mathrm {i} }&16-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4-2{\mathrm {i} }&-6&-12\\25-5{\mathrm {i} }&8-6{\mathrm {i} }&-10\\15+6{\mathrm {i} }&21-3{\mathrm {i} }&16-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-22-16{\mathrm {i} }&-54+6{\mathrm {i} }&-56+4{\mathrm {i} }\\90-50{\mathrm {i} }&-12-26{\mathrm {i} }&-90+10{\mathrm {i} }\\137+13{\mathrm {i} }&108-36{\mathrm {i} }&34-20{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

c) Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(X^{3}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}X+4+2{\mathrm {i} }\right)}(M)\\&=M^{3}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}M^{2}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}M+{\left(4+2{\mathrm {i} }\right)}E_{3}\\&={\begin{pmatrix}-22-16{\mathrm {i} }&-54+6{\mathrm {i} }&-56+4{\mathrm {i} }\\90-50{\mathrm {i} }&-12-26{\mathrm {i} }&-90+10{\mathrm {i} }\\137+13{\mathrm {i} }&108-36{\mathrm {i} }&34-20{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}{\begin{pmatrix}4-2{\mathrm {i} }&-6&-12\\25-5{\mathrm {i} }&8-6{\mathrm {i} }&-10\\15+6{\mathrm {i} }&21-3{\mathrm {i} }&16-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}+{\left(4+2{\mathrm {i} }\right)}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}13&2&1\\0&13&2\\0&0&13\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}13&1&0\\0&13&1\\0&0&13\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Lösung

Es ist

${}M={\begin{pmatrix}13&2&1\\0&13&2\\0&0&13\end{pmatrix}}-13{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&4\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Der Vektor ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gehört nicht zum Kern von ${}M^{2}$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

${}M{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}\,$

und

${}M^{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist

${\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

${\begin{pmatrix}13&1&0\\0&13&1\\0&0&13\end{pmatrix}}$

vorliegt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Es sei eine Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F,$

eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

und ein Punkt  ${}P\in E$  derart gegeben, dass

${}\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$

für alle  ${}v\in V$  gilt. Zeige, dass ${}\psi$ affin-linear ist.

Lösung

Es seien ${}Q\in E$ und ${}u\in V$ beliebig. Es ist

${}Q=P+w\,$

mit ${}w\in V$. Damit ist

${}{\begin{aligned}\psi (Q+u)&=\psi ((P+w)+u)\\&=\psi (P+(w+u))\\&=\psi (P)+\varphi (w+u)\\&=\psi (P)+\varphi (w)+\varphi (u)\\&=\psi (P+w)+\varphi (u)\\&=\psi (Q)+\varphi (u).\end{aligned}}$