Kurs:Lineare Algebra/Teil II/11/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 4 5 0 4 0 6 5 4 4 3 3 12 0 60



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem -Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  3. Eine Relation zwischen den Mengen und .
  4. Eine Orientierung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum .
  5. Die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius in einem metrischen Raum .
  6. Eine spaltenstochastische Matrix.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eigenwerte bei einer Isometrie

    auf einem endlichdimensionalen

    -Vektorraum.
  2. Der Satz über die Charakterisierung der Mittelsenkrechten mit einer Abstandsbedingung.
  3. Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

als lineare Abbildung

Bestimme die Eigenwerte und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung

winkeltreu ist. Zeige


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Typ der Matrix


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei eine Menge und eine Relation auf , die reflexiv und transitiv sei.

  1. Zeige, dass auf durch , falls und ist, eine Äquivalenzrelation definiert wird.
  2. Es sei die Quotientenmenge zu zur Äquivalenzrelation aus (1). Zeige, dass durch , falls , eine wohldefinierte Relation auf gegeben ist.
  3. Zeige, dass die Relation auf aus (2) eine Ordnungsrelation ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.

a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei . Definiere einen injektiven Gruppenhomomorphismus

von der Gruppe der Isometrien auf dem in die Gruppe der eigentlichen Isometrien auf dem .


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Football field.svg

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe eines Fußballfeldes. Dabei soll zu jeder Symmetrie die Ordnung angegeben werden.


Aufgabe * (12 (6+1+5) Punkte)

Wir wollen Aussagen über die Determinante einer spaltenstochastischen -Matrix machen.

  1. Zeige, dass für die Determinante einer spaltenstochastischen Matrix die Beziehung

    gilt.

  2. Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix, die nicht die Einheitsmatrix sei, mit
  3. Es sei und besitze zusätzlich die Eigenschaft, dass es eine Zeile mit ausschließlich positiven Einträgen gebe. Zeige


Aufgabe (0 Punkte)