Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 33/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das Kreuzprodukt

im , wobei den Körper mit fünf Elementen bezeichnet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das Kreuzprodukt

im , wobei den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper. Zeige, dass das Kreuzprodukt auf dem bilinear ist.


Aufgabe Aufgabe 33.6 ändern

Zeige, dass für das Kreuzprodukt für Vektoren die Beziehung

gilt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

eine Isometrie zwischen und ist.


Aufgabe * Aufgabe 33.8 ändern

Seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für jede Orthonormalbasis , von ist , Teil einer Orthonormalbasis von .
  3. Es gibt eine Orthonormalbasis , von derart, dass , Teil einer Orthonormalbasis von ist.


Aufgabe * Aufgabe 33.9 ändern

Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von gleich oder ist. Ferner besitze die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass eine Isometrie ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle die Beziehung

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass flächentreu, aber keine Isometrie ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei nicht kommutativ ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 33.13 ändern

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für Vektoren und die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Kreuzprodukt

im , wobei den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann sogar diagonalisierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien komplexe Vektorräume mit Skalarprodukten und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Isometrie bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist.



<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)