Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 13

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme für einen Körper ${}K$ die idempotenten Elemente, also Elemente ${}e\in K$ mit ${}e^{2}=e$. Bestimme die linearen Projektionen ${}\varphi \colon K\rightarrow K$.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Wir betrachten die Basis

${\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die Projektion von ${}\mathbb {R} ^{2}$ auf ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe

Es sei ${}L\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Lösungsraum zur linearen Gleichung

${}3x+4y+6z=0\,$

und ${}W=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}}$. Zeige

${}\mathbb {R} ^{3}=L\oplus W\,$

und beschreibe die Projektionen auf ${}L$ und auf ${}W$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Projektion auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige, dass ${}\varphi$ bezüglich einer geeigneten Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ durch eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &1&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe

Es sei ${}C\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ das Bild der Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (t,t^{2},t^{3})=(x,y,z).$

Skizziere die Bilder von ${}C$ unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.

Aufgabe

Zeige, dass die Summe von zwei linearen Projektionen

$\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$

im Allgemeinen keine Projektion ist.

Aufgabe

Vereinfache den Beweis zu Lemma 13.5 mit Hilfe der Dimensionsformel.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass der Homomorphismenraum

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$

ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass der Homomorphismenraum

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$

ein ${}K$-Untervektorraum des Abbildungsraumes ${}\operatorname {Abb} _{}^{}{\left(V,W\right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}W$ ein ${}K$- Vektorraum über dem Körper ${}K$. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(K,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto \varphi (1),$

ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der ${}K$- Vektorraum der linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$ und es sei ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

$F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\varphi (v),$

${}K$-linear ist.

Aufgabe

Wir betrachten den Matrizenraum ${}\operatorname {Mat} _{2}(K)$ und fixieren die Matrix ${}A={\begin{pmatrix}9&-8\\-7&6\end{pmatrix}}$.

1. Zeige, dass die Abbildung

   $\varphi \colon \operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,M\longmapsto A\circ M,$

   linear ist.

2. Beschreibe die Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich einer geeignet gewählten Basis.
3. Bestimme Kern und Bild von ${}\varphi$.

Aufgabe

Wir betrachten den Endomorphismenraum ${}\operatorname {End} _{}{\left(K^{2}\right)}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(K^{2},K^{2}\right)}$. Ist die Abbildung

$\operatorname {End} _{}{\left(K^{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(K^{2}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ \varphi ,$

eine lineare Abbildung?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zeige, dass die ersten ${}n^{2}+1$ Potenzen

$M^{i},i=0,\ldots ,n^{2},$

linear abhängig in ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon U\longrightarrow V$

   mit einem weiteren Vektorraum ${}U$ induziert eine lineare Abbildung

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

2. Eine lineare Abbildung

   $\psi \colon W\longrightarrow T$

   mit einem weiteren Vektorraum ${}T$ induziert eine lineare Abbildung

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$

Aufgabe

Formuliere Lemma 13.8 mit Matrizen bezüglich gegebener Basen.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

a) Zeige: ${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung

$\psi \colon W\longrightarrow V$

mit

${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\,$

gibt.

b) Es sei nun ${}\varphi$ surjektiv, es sei

$S={\left\{\psi :W\rightarrow V\mid \psi {\text{ linear}},\,\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\right\}}$

und es sei ${}\psi _{0}\in S$ fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen ${}\operatorname {Hom} _{K}(W,\operatorname {kern} \varphi )$ und ${}S$, unter der ${}0$ auf ${}\psi _{0}$ abgebildet wird.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass

${}\operatorname {End} _{}\,(V)={\left\{\varphi :V\rightarrow V\mid \varphi {\text{ linear}}\right\}}\,$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.

Den Ring der vorstehenden Aufgabe nennt man Endomorphismenring zu ${}V$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$g\colon V\longrightarrow V$

ein Isomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

$\Psi _{g}\colon \operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(V\right)},\,f\longmapsto gfg^{-1},$

ein Vektorraum-Isomorphismus ist und dass darüber hinaus

${}\Psi _{g}(f_{1}\circ f_{2})=\Psi _{g}(f_{1})\circ \Psi _{g}(f_{2})\,$

und

${}\Psi _{g}(\operatorname {Id} _{V})=\operatorname {Id} _{V}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Bestimme die Dimension des Raumes der Endomorphismen

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

mit

${}\varphi (v_{i})\in Kv_{i}\,$

für alle ${}i$. Wie sehen die Matrizen zu einem solchen ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis aus?

Aufgabe

Wir betrachten die Vektoren ${}u={\begin{pmatrix}8\\7\\4\end{pmatrix}}$ und ${}v={\begin{pmatrix}6\\3\\9\end{pmatrix}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme die Dimension des Vektorraumes, der aus allen linearen Abbildungen

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

besteht, die ${}u$ auf die ${}x$-Achse und ${}v$ auf die ${}y$-Achse abbilden. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen.

Aufgabe

Wir betrachten die Gerade ${}G=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}-9\\8\\3\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Es sei ${}M\subseteq \operatorname {Hom} _{K}{\left(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{2}\right)}$ die Menge der linearen Abbildungen, die diese Gerade auf das Achsenkreuz abbildet. Zeige, dass ${}M$ kein Untervektorraum des Homomorphismenraumes ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und es seien

$\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$

Automorphismen derart, dass für jeden Untervektorraum ${}U\subseteq V$ die Gleichheit ${}\varphi (U)=\psi (U)$ gilt. Zeige, dass ${}\varphi =a\psi$ mit einem ${}a\in K$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Basis

${\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die Projektion von ${}\mathbb {R} ^{2}$ auf ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

a) Zeige, dass die ${}2\times 2$- Matrizen

${\begin{pmatrix}{\frac {1\pm {\sqrt {1-4bc}}}{2}}&b\\c&{\frac {1\mp {\sqrt {1-4bc}}}{2}}\end{pmatrix}}$

Projektionen beschreiben. Dabei sind ${}b,c\in K$ derart, dass eine Quadratwurzel ${}{\sqrt {1-4bc}}$ existiert.

b) Bestimme sämtliche ${}2\times 2$-Matrizen

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

die eine Projektion beschreiben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume und ${}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{k}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Zeige

${}\operatorname {rang} \,{\left(\varphi _{1}+\cdots +\varphi _{k}\right)}\leq \sum _{i=1}^{k}\operatorname {rang} \,\varphi _{i}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}G_{1},G_{2}$ und ${}H_{1},H_{2}$ jeweils verschiedene Geraden im ${}K^{3}$. Welche Dimension hat der Raum

${}W={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(K^{3},K^{3}\right)}\mid \varphi (G_{1})\subseteq H_{1}{\text{ und }}\varphi (G_{2})\subseteq H_{2}\right\}}\,?$

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien die Vektoren ${}u={\begin{pmatrix}6\\9\\-2\end{pmatrix}}$ und ${}v={\begin{pmatrix}4\\-4\\7\end{pmatrix}}$ gegeben. Wir betrachten den Untervektorraum

${}U\subseteq \operatorname {Hom} _{K}{\left(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3}\right)}\,,$

der aus allen linearen Abbildungen ${}\varphi$ besteht, die gleichzeitig die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:

a) ${}\varphi (u)\in \langle {\begin{pmatrix}2\\8\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}7\\0\\5\end{pmatrix}}\rangle$.

b) ${}\varphi (v)\in \langle {\begin{pmatrix}6\\-5\\4\end{pmatrix}}\rangle$.

1. Bestimme die Dimension von ${}U$.
2. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch lineare Gleichungen.
3. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch eine Basis.

Fußnoten