Kurs:Maß- und Integrationstheorie/7/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	3	5	5	9	3	0	11	7	0	0	4	0	3	61

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die von einem Mengensystem ${}{\mathcal {E}}$ auf einer Menge ${}M$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra ${}\sigma ({\mathcal {E}})$.
2. Die Fortsetzung eines äußeren Maßes

   $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$.

3. Eine maßtreue Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$.

4. Eine integrierbare Funktion auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}M$.
5. Der ${}L^{p}$-Raum zu einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und einer reellen Zahl ${}p\geq 1$.
6. Das ${}n$-te Bernoulli-Polynom ${}B_{n}$.

Lösung

1. Unter der von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugten ${}\sigma$-Algebra versteht man die kleinste ${}\sigma$- Algebra, die ${}{\mathcal {E}}$ enthält.
2. Für eine beliebige Teilmenge ${}T\subseteq M$ definiert man

   ${\tilde {\mu }}(T):=\inf \left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)$

   und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes ${}\mu$.

3. Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition/Begriff/Inhalt
4. Eine messbare numerische Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   heißt integrierbar, wenn die beiden Integrale ${}\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und ${}\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind.

5. Man definiert den ${}L^{p}$-Raum durch

   ${}L^{p}(X):={\mathcal {L}}^{p}(X)/{\mathcal {N}}\,,$

   wobei ${}{\mathcal {N}}$ die Menge der Funktionen bezeichnet, die außerhalb einer Nullmenge die Nullfunktion sind.

6. Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über translationsinvariante Maße auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.
2. Die Formel für ${}\lambda ^{n}(L(S))$ für eine Borelmenge ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ unter einer linearen Abbildung ${}L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
3. Die Minkowskische Ungleichung.

Lösung

1. Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$ ist das einzige translationsinvariante Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das auf dem Einheitswürfel den Wert ${}1$ besitzt.
2. Es sei

   $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   eine lineare Abbildung. Dann gilt für jede messbare Menge ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Beziehung

   ${}\lambda ^{n}(L(S))=\vert {\det L}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$

3. Es sei ${}p\geq 1$ eine reelle Zahl und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

   $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

   ${}p$- integrierbare Funktionen.

   Dann gilt

   ${}\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge und es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-1}$

eine surjektive lineare Abbildung derart, dass für alle ${}x\in \mathbb {R} ^{n-1}$ die Menge ${}T\cap \varphi ^{-1}(x)$ abzählbar sei. Zeige

${}\lambda ^{n}(T)=0\,.$

Lösung Teilmenge/R^n/Projektion mit abzählbaren Fasern/0/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das Messbarkeitskriterium für Abbildungen.

Lösung

Wir betrachten das Mengensystem

${}{\mathcal {C}}={\left\{T\subseteq N\mid \varphi ^{-1}(T)\in {\mathcal {A}}\right\}}\,.$

Da das Urbildnehmen mit sämtlichen Mengenoperationen verträglich ist, ist ${}{\mathcal {C}}$ eine ${}\sigma$- Algebra auf ${}N$. Da diese das Erzeugendensystem ${}{\mathcal {E}}$ umfasst, ist ${}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}$.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}(X,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und ${}\mu$ und ${}\nu$ seien Maße darauf.

a) Ist die durch

${}(\mu +\nu )(T):=\mu (T)+\nu (T)\,$

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

${}(\mu *\nu )(T):={\max {\left(\mu (T),\nu (T)\right)}}\,$

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

Lösung

a) Die Summe ist ein Maß. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung ${}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}(\mu +\nu )(T)&=\mu (T)+\nu (T)\\&={\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\right)}+{\left(\sum _{i\in I}\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\mu (T_{i})+\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}(\mu +\nu )(T_{i}),\end{aligned}}$

wobei im vorletzten Schritt der große Umordnungssatz verwendet wurde.

b) Durch das Maximum ergibt sich im Allgemeinen kein Maß. Dazu sei beispielsweise

${}T=\{x,y\}\,$

eine zweielementige Menge und ${}\mu$ sei das in ${}x$ konzentrierte Dirac-Maß und ${}\nu$ sei das in ${}y$ konzentrierte Dirac-Maß. Dann ist

${}\mu (T)=\nu (T)=1\,$

und damit ist auch das Maximum davon ${}1$. Ferner ist

${}{\max {\left(\mu (\{x\}),\nu (\{x\})\right)}}={\max {\left(1,0\right)}}=1\,$

und ebenso ${}{\max {\left(\mu (\{y\}),\nu (\{y\})\right)}}=1$. Würde ein Maß vorliegen, so müsste also

${}{\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(T)={\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(\{x\}\cup \{y\})=1+1=2\,$

sein.

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius ${}13$ cm, der Topf sei ${}10$ cm hoch und auf die Höhe von ${}7{,}7$ cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von ${}8{,}8$ cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?

Lösung

a) Das Wasser steigt um ${}1{,}1$ cm, daher ist das Volumen der Kartoffel gleich

${}13\cdot 13\cdot 3{,}14\cdot 1{,}1=169\cdot 3{,}14\cdot 1{,}1=169\cdot 3{,}454=583{,}726\,$

(in Kubikzentimetern).

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche des Topfes), die Produktformel für das Maß einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen angewendet.

c) Wegen ${}8^{3}=512$ ist die Kartoffel volumengleich zu einem Würfel, dessen Kantenlänge größer als ${}8$ cm ist. Die Kartoffel ist also ziemlich groß.

Aufgabe (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,y\geq 0\right\}}\,$

der obere Einheitshalbkreis und

$p\colon M\longrightarrow [-1,1],\,(x,y)\longmapsto x,$

die Projektion auf die ${}x$-Achse. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ seien ${}n+1$ Punkte auf ${}M$ gleichverteilt in dem Sinne, dass ${}(1,0)$ und ${}(-1,0)$ dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für ${}n=7$ einschließlich der Bildpunkte unter ${}p$.

b) Es sei ${}\mu _{n}$ das Zählmaß auf ${}M$, bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert ${}1$ erhält und es sei

${}\nu _{n}=p_{*}\mu _{n}\,$

das zugehörige Bildmaß auf ${}[-1,1]$. Man gebe eine Formel für

$\nu _{n}([t,1])$

(${}t\in [-1,1]$) mit Hilfe des Arkuskosinus an.

c) Bestimme

$\lim _{n\rightarrow \infty }\nu _{n}([1-{\frac {2}{n}},1]).$

Lösung

a)

b) Wir betrachten die Abbildung

$[0,\pi ]\longrightarrow M,\,s\longmapsto (\cos s,\sin s),$

die den oberen Halbkreis gleichförmig parametrisiert. Dabei entspricht der angegebenen gleichwinkligen Unterteilung von ${}M$ mit ${}n+1$ Punkten die äquidistante Unterteilung des Intervalls ${}[0,\pi ]$ mit dem Abstand ${}\pi /n$, das wir ${}\lambda _{n}$ nennen. Das Bildmaß kann man also auch auffassen als Bildmaß zu ${}\lambda _{n}$ unter der Abbildung

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1],\,s\longmapsto \cos s.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\nu _{n}[t,1]&=\lambda _{n}{\left(\arccos([t,1])\right)}\\&=\lambda _{n}{\left([0,\arccos t]\right)}\\&=\left\lfloor {\frac {n\arccos t}{\pi }}\right\rfloor +1.\end{aligned}}$

c) Wir behaupten, dass die Folge bestimmt gegen ${}+\infty$ divergiert. Es ist zunächst

${}\left\lfloor {\frac {n\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\pi }}\right\rfloor +1\geq {\frac {n\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\frac {2}{n}}}\,.$

Es genügt also zu zeigen, dass

${}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\arccos {\left(1-h\right)}}{h}}=+\infty \,$

ist. Nach der Regel von l'Hospital kann man stattdessen

${}{\frac {\frac {1}{\sqrt {1-(1-h)^{2}}}}{1}}={\frac {1}{\sqrt {2h-h^{2}}}}={\frac {1}{{\sqrt {h}}{\sqrt {2-h}}}}\,$

betrachten, und dies divergiert bestimmt gegen ${}+\infty$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Lösung

Aufgrund des Satzes von Fubini ist

${}{\begin{aligned}\int _{W}s^{2}t+r\cos t\,d\lambda ^{3}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(s^{2}t+r\cos t\right)}drdsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(rs^{2}t+{\frac {1}{2}}r^{2}\cos t\right)}|_{0}^{1}dsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(s^{2}t+{\frac {1}{2}}\cos t\right)}dsdt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{3}}s^{3}t+s{\frac {1}{2}}\cos t\right)}|_{0}^{1}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{3}}t+{\frac {1}{2}}\cos t\right)}dt\\&={\left({\frac {1}{6}}t^{2}+{\frac {1}{2}}\sin t\right)}|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{2}}\sin 1.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (11 (3+8) Punkte)

Es sollen drei Kugeln mit Radius ${}1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

Lösung

a) Die Gesamtpackung setzt sich aus zwei Halbkugeln mit Radius ${}1$ und einem Zylinder der Höhe ${}4$ über einem Kreis mit Radius ${}1$ zusammen. Daher ist das Volumen gleich

${}{\frac {4}{3}}\pi +4\pi ={\frac {16}{3}}\pi \,.$

b) Wir wenden das Cavalieri-Prinzip an und betrachten den Querschnitt zur Höhe ${}h$, ${}-1\leq h\leq 1$. Der Kugelquerschnitt besteht aus drei Kugeln mit Radius ${}r={\sqrt {1-h^{2}}}$, deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge ${}2$ bilden. Wir müssen den Flächeninhalt des durch die Folie gegebenen (abgerundeten) Querschnittsdreiecks bestimmen. Die Kantenlänge des zugehörigen spitzen Dreieckes ist ${}2+2{\sqrt {3}}r$. Daher ist der Flächeninhalt dieses Dreieckes gleich

${}{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\left(2+2{\sqrt {3}}r\right)}^{2}={\sqrt {3}}{\left(1+{\sqrt {3}}r\right)}^{2}={\sqrt {3}}+6r+3{\sqrt {3}}r^{2}\,.$

Davon müssen wir die Spitzen (über den Kreisbögen) abziehen. Eine solche Spitze ergibt sich als Flächeninhalt des Vierecks, das durch Kreismittelpunkt, Dreiecksspitze und die beiden tangentialen Punkte gegeben ist, ohne einen Drittelkreis. Das ergibt ${}{\sqrt {3}}r^{2}-{\frac {\pi }{3}}r^{2}$. Der Flächeninhalt des abgerundeten Dreiecks ist also

${}{\begin{aligned}{\sqrt {3}}+6r+3{\sqrt {3}}r^{2}-3{\left({\sqrt {3}}r^{2}-{\frac {\pi }{3}}r^{2}\right)}&={\sqrt {3}}+6r+\pi r^{2}\\&={\sqrt {3}}+6{\sqrt {1-h^{2}}}+\pi {\left(1-h^{2}\right)}\\&={\sqrt {3}}+\pi +6{\sqrt {1-h^{2}}}-\pi h^{2}.\end{aligned}}$

Das Volumen der Dreieckspackung ist somit

${}{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {3}}+\pi +6{\sqrt {1-h^{2}}}-\pi h^{2}dh&=2{\left({\sqrt {3}}+\pi \right)}+3\pi -\pi {\frac {2}{3}}\\&=2{\sqrt {3}}+{\frac {13}{3}}\pi .\end{aligned}}$

Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge,

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung und ${}y_{n}=f(x_{n})$ die Bildfolge. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}G$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

a) Zeige ${}f(H)\subseteq G$.

b) Zeige

${}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.

Lösung

a) Es sei ${}x$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann gibt es eine gegen ${}x$ konvergente Teilfolge. Nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit konvergiert die Bildfolge dieser Teilfolge gegen ${}f(x)$, so dass ${}f(x)$ ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.

b) Zu einer beschränkten Menge ${}H$ unter einer stetigen Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ist stets

${}f{\left({\operatorname {sup} \,(H)}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}\,,$

da es eine Folge in ${}H$ gibt, die gegen das Supremum ${}s$ von ${}H$ konvergiert. Die Bildfolge davon konvergiert gegen ${}f(s)\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}$. Wenn speziell ${}H$ die Menge der Häufungspunkte ist, so ergibt sich daraus und aus Teil a) die Abschätzung

${}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}=f{\left({\operatorname {sup} \,(H)}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}\leq {\operatorname {sup} \,(G)}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

c) Wir betrachten die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die für gerade Indizes den Wert ${}1$ und für ungerade den Wert ${}-2$ besitzt. Die Häufungspunkte sind also ${}\{-2,1\}$, der Limes superior davon ist ${}1$. Es sei ${}f(x)=x^{2}$. Die Bildfolge schwankt zwischen ${}1$ und ${}4$ und somit ist der Limes superior der Bildfolge gleich ${}4$. Das ist echt größer als ${}f(1)=1$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass ${}X$ vollständig ist.

Lösung

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}X$. Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach Aufgabe ***** besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt ${}y\in X$ eine offene Umgebung ${}y\in U_{y}$ derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. Aufgrund der Kompaktheit gibt es zur Überdeckung

${}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,$

eine endliche Teilüberdeckung, also

${}X=\bigcup _{i=1}^{m}U_{y_{i}}\,.$

Dann wären ab einem ${}N$ alle Folgenglieder außerhalb dieser Menge, was absurd ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom auf ${}[-1,1]$ die Identität

${}T_{n}(x)={\frac {{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}+{\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}}{2}}\,$

erfüllt.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}+{\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}x^{n-j}{\sqrt {x^{2}-1}}^{j}+(-1)^{j}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}x^{n-j}{\sqrt {x^{2}-1}}^{j}\\\end{aligned}}$

Bei ungeradem ${}j$ heben sich die Terme links und rechts weg, bei ${}j$ gerade verdoppeln sich die Terme. Daher ist diese Summe gleich

${}2\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}x^{n-2k}{\sqrt {x^{2}-1}}^{2k}=2T_{n}(x)\,.$