Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 16

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum

eine lineare Abbildung und . Zeige folgende Aussagen.

  1. Der Eigenraum

    ist ein Untervektorraum von .

  2. ist genau dann ein Eigenwert zu , wenn der Eigenraum nicht der Nullraum ist.
  3. Ein Vektor , ist genau dann ein Eigenvektor zu , wenn ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass

ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu gibt.


Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix

mindestens einen Eigenwert besitzt.


Aufgabe *

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.


Zu einem Endomorphismus (bzw. einer Matrix ) bezeichnet man mit (bzw. ) die -fache Hintereinanderschaltung (bzw. Verknüpfung) mit sich selbst. Man spricht dann auch von -ten Potenzen.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

die Potenzen


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz , , Eigenwerte besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zeige, dass die ersten Potenzen

linear abhängig in sind.


Die nächsten Aufgaben verwenden die beiden folgenden Begriffe:


Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Eine lineare Abbildung

heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass die -te Hintereinanderschaltung

ist.


Eine quadratische Matrix heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass das -te Matrixprodukt

ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ist, wobei die Dimension von bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass der einzige Eigenwert von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Determinante von ?


Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zu heißt die lineare Abbildung

die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor .


Aufgabe

Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum ?


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Sei und sei

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich zu einer linearen Abbildung

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ist.




Aufgaben zum Abgeben
Homothety in two dim.svg

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ein Eigenvektor von ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine obere Dreiecksmatrix, bei der alle Diagonalelemente null seien. hat also die Gestalt

Zeige, dass nilpotent ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Matrix

Zeige, dass als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von als komplexer Matrix.


Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

Man charakterisiere in Abhängigkeit von , wann eine solche Matrix
  1. zwei verschiedene Eigenwerte,
  2. einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
  3. einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
  4. keinen Eigenwert,

besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung mit

für ein gewisses .[1] Zeige, dass jeder Eigenwert von die Eigenschaft besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis von eine Basis gibt mit und mit

für alle .

Zeige ebenso, dass dies bei nicht möglich ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei

die dazu duale Abbildung. Zeige, dass jeder Eigenwert von auch ein Eigenwert von ist.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (bis 10 Punkte)

Man lege eine Serie von Skizzen (hochladbare Computergraphik) an, die die typische Wirkungsweise (beispielsweise auf gewissen Figuren) von linearen Abbildungen der reellen Ebene in sich veranschaulicht. Insbesondere sollen auch Eigenräume illustriert werden.




Fußnoten
  1. Der Wert ist hier erlaubt, aber aussagelos.



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