Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$. Zeige folgende Aussagen.

1. Der Eigenraum

   $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$

   ist ein Untervektorraum von ${}V$.

2. ${}\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert zu ${}\varphi$, wenn der Eigenraum ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ nicht der Nullraum ist.
3. Ein Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0$, ist genau dann ein Eigenvektor zu ${}\lambda$, wenn ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass

${}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,$

ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{2}({\mathbb {C} })$ mindestens einen Eigenwert besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Zu einem Endomorphismus ${}\varphi$ (bzw. einer Matrix ${}M$) bezeichnet man mit ${}\varphi ^{n}$ (bzw. ${}M^{n}$) die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung (bzw. Verknüpfung) mit sich selbst. Man spricht dann auch von ${}n$-ten Potenzen.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\,$

die Potenzen

$M^{i},\,i=1,\ldots ,4.$

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

derart, dass ${}\varphi$ keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz ${}\varphi ^{n}$, ${}n\geq 2$, Eigenwerte besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zeige, dass die ersten ${}n^{2}+1$ Potenzen

$M^{i},i=0,\ldots ,n^{2},$

linear abhängig in ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$ sind.

Die nächsten Aufgaben verwenden die beiden folgenden Begriffe:

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ derart gibt, dass die ${}n$-te Hintereinanderschaltung

${}\varphi ^{n}=0\,$

ist.

Eine quadratische Matrix ${}M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass das ${}n$-te Matrixprodukt

${}M^{n}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{n{\text{-mal}}}=0\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi ^{n}=0$ ist, wobei ${}n$ die Dimension von ${}V$ bezeichnet.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ${}0$ der einzige Eigenwert von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Determinante von ${}\varphi$?

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zu ${}a\in K$ heißt die lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$

die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor ${}a$.

Aufgabe

Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ und sei

${}U=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\,$

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich ${}\varphi$ zu einer linearen Abbildung

$\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U,\,v\longmapsto \varphi (v),$

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ${}\lambda$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0,$ ein Eigenvektor von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix, bei der alle Diagonalelemente null seien. ${}M$ hat also die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&*&\cdots &\cdots &*\\0&0&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&*\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

Zeige, dass ${}M$ nilpotent ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass ${}M$ als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von ${}M$ als komplexer Matrix.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,.$

Man charakterisiere in Abhängigkeit von ${}a,b,c,d$, wann eine solche Matrix

1. zwei verschiedene Eigenwerte,
2. einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
3. einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
4. keinen Eigenwert,

besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung mit

${}\varphi ^{n}=\operatorname {Id} _{V}\,$

für ein gewisses ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass jeder Eigenwert ${}\lambda$ von ${}\varphi$ die Eigenschaft ${}\lambda ^{n}=1$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \neq 0$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ und ${}v$ ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis ${}v,u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ eine Basis ${}v,w_{2},\ldots ,w_{n}$ gibt mit ${}\langle v,u_{j}\rangle =\langle v,w_{j}\rangle$ und mit

${}\varphi (w_{j})\in \langle u_{i},\,i=2,\ldots ,n\rangle \,$

für alle ${}j=2,\ldots ,n$.

Zeige ebenso, dass dies bei ${}\lambda =0$ nicht möglich ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

die dazu duale Abbildung. Zeige, dass jeder Eigenwert von ${}\varphi$ auch ein Eigenwert von ${}\varphi ^{*}$ ist.

Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (bis 10 Punkte)

Man lege eine Serie von Skizzen (hochladbare Computergraphik) an, die die typische Wirkungsweise (beispielsweise auf gewissen Figuren) von linearen Abbildungen der reellen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ in sich veranschaulicht. Insbesondere sollen auch Eigenräume illustriert werden.

Fußnoten