Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 17

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne im Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$ das Produkt

$((4+{\mathrm {i} })X^{2}-3X+9{\mathrm {i} })\cdot ((-3+7{\mathrm {i} })X^{2}+(2+2{\mathrm {i} })X-1+6{\mathrm {i} }).$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper ${}K$ gilt: Wenn ${}P,Q\in K[X]$ beide ungleich ${}0$ sind, so ist auch ${}PQ\neq 0$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$.
2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$.
3. ${}1(a)=1$.

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^{3}-5X^{2}-4X+7$

die Variable ${}X$ durch die komplexe Zahl ${}2-5{\mathrm {i} }$ ersetzt.

Aufgabe

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=3X^{4}+7X^{2}-2X+5$ und ${}T=2X^{2}+3X-1$ durch.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass jedes Polynom ${}P\in K[X],\,P\neq 0,$ eine Produktzerlegung

$P=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\cdot Q$

mit ${}\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten ${}\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass

${}\operatorname {End} _{}\,(V)={\left\{\varphi :V\rightarrow V\mid \varphi {\text{ linear}}\right\}}\,$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$-X^{3}+6X^{2}-6X+27$

die Variable ${}X$ durch die ${}3\times 3$-Matrix

${\begin{pmatrix}5&3&2\\5&4&1\\7&3&0\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Wir betrachten die folgende Relation auf ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$.

$M\sim N,{\text{ falls es eine invertierbare Matrix }}B{\text{ gibt mit }}M=BNB^{-1}.$

Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe *

Zeige durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen ${}n,d$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte natürliche Zahlen ${}q,r$ mit ${}r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}q,r$ mit ${}0\leq r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt.

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&5&3\\7&4&2\\3&7&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wie findet man die Determinante von ${}M$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$ wieder?

Aufgabe

Es sei ${}K$ der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix

$M={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ nicht das Nullpolynom ist, dass aber

${}\chi _{M}(\lambda )=0\,$

für alle ${}\lambda \in K$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$ das Produkt

${\left((4+{\mathrm {i} })X^{3}-{\mathrm {i} }X^{2}+2X+3+2{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left((2-{\mathrm {i} })X^{3}+(3-5{\mathrm {i} })X^{2}+(2+{\mathrm {i} })X+1+5{\mathrm {i} }\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=(5+{\mathrm {i} })X^{4}+{\mathrm {i} }X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-1$ und ${}T=X^{2}+{\mathrm {i} }X+3-{\mathrm {i} }$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ und ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}P(\lambda )$ ein Eigenwert von ${}P(\varphi )$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zeige, dass für jedes ${}\lambda \in K$ die Beziehung

${}\chi _{M}(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,$

gleich

${}\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes ${}\lambda \in \mathbb {Q}$ die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&-4&5\\0&-1&2\\0&0&3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der die Eigenschaft erfüllt: wenn ${}rs=0$ ist, so ist ${}r=0$ oder ${}s=0$. Zeige, dass man auf folgende Weise einen Körper ${}K$ konstruieren kann, der ${}R$ enthält.

Wir betrachten auf

$M=R\times (R\setminus {\{0\}})$

die durch

$(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$

definierte Relation.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf der Quotientenmenge ${}Q(R)$ Verknüpfungen derart, dass ${}Q(R)$ zu einem Körper wird und dass

$\varphi \colon R\longrightarrow Q(R),\,r\longmapsto [(r,1)],$

mit Addition und Multiplikation verträglich ist und ${}\varphi (1)=1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}R=K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Sei

${}P={\left\{F\in K[X]\mid {\text{Der Leitkoeffizient von }}F{\text{ ist positiv}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt

1. Entweder ist ${}F\in P$ oder ${}-F\in P$ oder ${}F=0$.
2. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F+G\in P$.
3. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F\cdot G\in P$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}K[X]$ der Polynomring und

$Q=K(X)$

der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 17.23, dass man ${}Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.

Fußnoten