Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 17

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die komplexe Zahl ersetzt.


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.


Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Wir betrachten die folgende Relation auf .

Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe *

Zeige durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen mit eindeutig bestimmte natürliche Zahlen mit und mit

gibt.


Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt.


Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wie findet man die Determinante von im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Es sei der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix

Zeige, dass das charakteristische Polynom nicht das Nullpolynom ist, dass aber

für alle ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein Polynom. Zeige, dass ein Eigenwert von ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zeige, dass für jedes die Beziehung

gilt.[1]


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

gleich

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring, der die Eigenschaft erfüllt: wenn ist, so ist oder . Zeige, dass man auf folgende Weise einen Körper konstruieren kann, der enthält.

Wir betrachten auf

die durch
definierte Relation.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf der Quotientenmenge Verknüpfungen derart, dass zu einem Körper wird und dass

mit Addition und Multiplikation verträglich ist und ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und der Polynomring über . Sei

Zeige, dass die drei folgenden Eigenschaften besitzt

  1. Entweder ist oder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Aus folgt .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper, der Polynomring und

der Körper der rationalen Funktionen über . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 17.23, dass man zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.




Fußnoten
  1. Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss.



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