Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 17

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^2-3X+9\mathrm{i})\cdot ((-3+7\mathrm{i})X^2+(2+2\mathrm{i})X-1+6\mathrm{i}).$

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. $\mathrm{grad}(P+Q)\le max\{\mathrm{grad}(P),\mathrm{grad}(Q)\}.$

2. $\mathrm{grad}(P\cdot Q)=\mathrm{grad}(P)+\mathrm{grad}(Q).$

Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper $K$ gilt: Wenn  $P,Q\in K[X]$  beide ungleich $0$ sind, so ist auch  $PQ\ne 0$. 

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $a\in K$.  Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi :K[X]⟶K,P⟼P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien  $P,Q\in K[X]$ ).

1. $(P+Q)(a)=P(a)+Q(a).$

2. $(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a).$

3. $1(a)=1.$

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^3-5X^2-4X+7$

die Variable $X$ durch die komplexe Zahl $2-5\mathrm{i}$ ersetzt.

Aufgabe

Führe in $\mathbb{Q}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^4+7X^2-2X+5$ und $T=2X^2+3X-1$ durch.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass jedes Polynom $P\in K[X]$, $P\ne 0$, eine Produktzerlegung

$P=(X-{\lambda }_1{)}^{{\mu }_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{{\mu }_k}\cdot Q$

mit  ${\mu }_j\ge 1$  und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ und die zugehörigen Exponenten ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_k$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass

${\mathrm{End}}_{}(V)=\{\phi :V\to V\mid \phi \text{ linear}\}$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$-X^3+6X^2-6X+27$

die Variable $X$ durch die $3\times 3$-Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 5& 4& 1\\ 7& 3& 0\end{array}\right)$

ersetzt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Wir betrachten die folgende Relation auf ${\mathrm{Mat}}_n(K)$.

$M\sim N,\text{ falls es eine invertierbare Matrix }B\text{ gibt mit }M=BN{B}^{-1}.$

Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe *

Zeige durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen $n,d$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte natürliche Zahlen $q,r$ mit $r<d$ und mit

$n=dq+r$

gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit  $d>0$  eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit  $0\le r<d$  und mit

$n=dq+r$

gibt.

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 3\\ 7& 4& 2\\ 3& 7& 5\end{array}\right).$

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Wie findet man die Determinante von $M$ im charakteristischen Polynom ${\chi }_M$ wieder?

Aufgabe

Es sei $K$ der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$

Zeige, dass das charakteristische Polynom ${\chi }_M$ nicht das Nullpolynom ist, dass aber

${\chi }_M(\lambda )=0$

für alle  $\lambda \in K$  ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^3-\mathrm{i}{X}^2+2X+3+2\mathrm{i})\cdot ((2-\mathrm{i})X^3+(3-5\mathrm{i})X^2+(2+\mathrm{i})X+1+5\mathrm{i}).$

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in $ℂ[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=(5+\mathrm{i})X^4+\mathrm{i}{X}^2+(3-2\mathrm{i})X-1$ und $T=X^2+\mathrm{i}X+3-\mathrm{i}$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Es sei  $\lambda \in K$  ein Eigenwert von $\phi$ und  $P\in K[X]$  ein Polynom. Zeige, dass $P(\lambda )$ ein Eigenwert von $P(\phi )$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zeige, dass für jedes  $\lambda \in K$  die Beziehung

${\chi }_M(\lambda )=det(\lambda E_n-M)$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& 1\\ -a_0& -a_1& \dots & -a_{n-2}& -a_{n-1}\end{array}\right)$

gleich

${\chi }_M=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes  $\lambda \in \mathbb{Q}$  die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 0& -1& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right).$

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der die Eigenschaft erfüllt: wenn $rs=0$ ist, so ist $r=0$ oder $s=0$. Zeige, dass man auf folgende Weise einen Körper $K$ konstruieren kann, der $R$ enthält.

Wir betrachten auf

$M=R\times (R\setminus \{0\})$

die durch

$(a,b)\sim (c,d),\text{ falls }ad=bc,$

definierte Relation.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf der Quotientenmenge $Q(R)$ Verknüpfungen derart, dass $Q(R)$ zu einem Körper wird und dass

$\phi :R⟶Q(R),r⟼[(r,1)],$

mit Addition und Multiplikation verträglich ist und $\phi (1)=1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $R=K[X]$  der Polynomring über $K$. Sei

$P=\{F\in K[X]\mid \text{Der Leitkoeffizient von }F\text{ ist positiv}\}.$

Zeige, dass $P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt

1. Entweder ist  $F\in P$  oder  $-F\in P$  oder  $F=0$. 
2. Aus  $F,G\in P$  folgt  $F+G\in P$. 
3. Aus  $F,G\in P$  folgt  $F\cdot G\in P$. 

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $K[X]$ der Polynomring und

$Q=K(X)$

der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 17.23, dass man $Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.

Fußnoten