Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 18

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix


Aufgabe

Es sei eine diagonalisierbare Matrix mit dem charakteristischen Polynom . Zeige direkt, dass

gilt.


Die beiden nächsten Aufgaben verwenden folgende Definition.


Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann heißt

die Spur von .


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wie findet man die im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren , die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung


Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Untervektorräumen von . Man sagt, dass die direkte Summe der ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Jeder Vektor besitzt eine Darstellung

    mit .

  2. für alle .

Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die direkte Summe aus und dem orthogonalen Komplement ist.


Aufgabe *

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

gilt.


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist .
  4. Es ist


Aufgabe *

Sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

eine Isometrie zwischen und ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper, und mit . Man gebe Beispiele für -Matrizen derart, dass ein Eigenwert zu ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn die direkte Summe seiner Eigenräume ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, und seien Matrizen, die in der Beziehung

mit einer invertierbaren Matrix stehen. Zeige, ohne das charakteristische Polynom zu verwenden, dass

ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn das charakteristische Polynom ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wir betrachten im Polynomring die Teilmenge

Es sei , , derart, dass es in kein Polynom von kleinerem Grad gibt. Zeige: Jedes Element kann man schreiben als

mit einem .


Aufgabe (3 Punkte)

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für jeden Vektor die Beziehung

gilt.


Aufgabe (6 Punkte)

Man beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das besagt, dass man in einem euklidischen Vektorraum aus einer gegebenen Basis eine Orthonormalbasis basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume

übereinstimmen für alle .


Aufgabe (6 Punkte)

Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für jeden Vektor mit ist auch .
  3. Für jede Orthonormalbasis , ist auch , eine Orthonormalbasis.
  4. Es gibt eine Orthonormalbasis , derart, dass auch , eine Orthonormalbasis ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle die Beziehung

gilt.



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