Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Frohe Weihnachten!!!

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 5& 3\end{array}\right).$

Aufgabe

Es sei $M$ eine diagonalisierbare Matrix mit dem charakteristischen Polynom ${\chi }_M$. Zeige direkt, dass

${\chi }_M(M)=0$

gilt.

Die beiden nächsten Aufgaben verwenden folgende Definition.

Es sei $K$ ein Körper und sei  $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$  eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann heißt

$\mathrm{Spur}\left(M\right):=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$

die Spur von $M$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Wie findet man die $\mathrm{Spur}\left(M\right)$ im charakteristischen Polynom ${\chi }_M$ wieder?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$ mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

${\chi }_M=(X-{\lambda }_1{)}^{{\mu }_1}\cdot (X-{\lambda }_2{)}^{{\mu }_2}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{{\mu }_k}.$

Zeige, dass

$\mathrm{Spur}\left(M\right)=\sum _{i=1}^k{\mu }_i{\lambda }_i$

ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und sei  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und sei  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren $v,w\in V$, die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung

$\Vert v+w{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2.$

Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $U_1,\dots ,U_m$ eine Familie von Untervektorräumen von $V$. Man sagt, dass $V$ die direkte Summe der $U_i$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Jeder Vektor  $v\in V$  besitzt eine Darstellung

   $v=u_1+u_2+\cdots +u_m$

   mit  $u_i\in U_i$. 

2.  $U_i\cap \left(\sum _{j\ne i}{U}_j\right)=0$  für alle $i$.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass $V$ die direkte Summe aus $U$ und dem orthogonalen Komplement $U^{\perp }$ ist.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und der zugehörigen Norm $\Vert -\Vert$. Zeige, dass die Beziehung

$⟨v,w⟩=\frac{1}{2}(\Vert v+w{\Vert }^2-\Vert v{\Vert }^2-\Vert w{\Vert }^2)$

gilt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und der zugehörigen Norm $\Vert -\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

$\Vert v+w{\Vert }^2+\Vert v-w{\Vert }^2=2\Vert v{\Vert }^2+2\Vert w{\Vert }^2$

gilt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind $u,v,w\in V$).

1. Es ist $d(v,w)\ge 0$.
2. Es ist $d(v,w)=0$ genau dann, wenn $v=w$.
3. Es ist $d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   $d(u,w)\le d(u,v)+d(v,w).$

Aufgabe *

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie  $u_1,\dots ,u_n\in V$  genau dann eine Orthonormalbasis von $V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

${ℝ}^n⟶V,e_i⟼u_i,$

eine Isometrie zwischen ${ℝ}^n$ und $V$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}7& 4& 5\\ 6& 3& 8\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$

durch eine explizite Rechnung.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper,  $a\in K$  und  $m,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  mit  $1\le m\le n$.  Man gebe Beispiele für $n\times n$-Matrizen $M$ derart, dass $a$ ein Eigenwert zu $M$ ist mit der algebraischen Vielfachheit $n$ und der geometrischen Vielfachheit $m$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass $\phi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn $V$ die direkte Summe seiner Eigenräume ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ und seien $M,N\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$ Matrizen, die in der Beziehung

$M=BN{B}^{-1}$

mit einer invertierbaren Matrix $B\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$ stehen. Zeige, ohne das charakteristische Polynom zu verwenden, dass

$\mathrm{Spur}\left(N\right)=\mathrm{Spur}\left(M\right)$

ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann nilpotent ist, wenn das charakteristische Polynom  ${\chi }_{\phi }=X^n$  ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Wir betrachten im Polynomring $K[X]$ die Teilmenge

$I=\{P\in K[X]\mid P(M)=0\}.$

Es sei $F\in I$, $F\ne 0$, derart, dass es in $I$ kein Polynom von kleinerem Grad gibt. Zeige: Jedes Element $G\in I$ kann man schreiben als

$G=FQ$

mit einem $Q\in K[X]$.

Aufgabe (3 Punkte)

Der ${ℝ}^3$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei  $U\subseteq {ℝ}^3$  der Kern der linearen Abbildung

${ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼3x+y+7z,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für $U$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei  $u_1,\dots ,u_n\in V$  eine Orthonormalbasis von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor  $v\in V$  die Beziehung

$v=\sum _{i=1}^n⟨v,u_i⟩u_i$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Man beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das besagt, dass man in einem euklidischen Vektorraum aus einer gegebenen Basis $v_1,\dots ,v_n$ eine Orthonormalbasis $u_1,\dots ,u_n$ basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume

$⟨v_1,\dots ,v_i⟩=⟨u_1,\dots ,u_i⟩$

übereinstimmen für alle $i=1,\dots ,n$.

Aufgabe (6 Punkte)

Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $\phi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor $v$ mit  $\Vert v\Vert =1$  ist auch  $\Vert \phi (v)\Vert =1$. 
3. Für jede Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, ist auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, derart, dass auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle  $u,v\in V$  die Beziehung

$⟨u,v⟩=0\text{ genau dann, wenn }⟨\phi (u),\phi (v)⟩=0$

gilt.