Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 18
- Aufwärmaufgaben
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Die beiden nächsten Aufgaben verwenden folgende Definition.
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Wie findet man die im charakteristischen Polynom wieder?
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also
Zeige, dass
ist.
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren , die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung
Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Untervektorräumen von . Man sagt, dass die direkte Summe der ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- Jeder Vektor
besitzt eine Darstellung
mit .
- für alle .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die direkte Summe aus und dem orthogonalen Komplement ist.
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung
gilt.
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung
gilt.
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ).
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn .
- Es ist .
- Es ist
Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung
eine Isometrie zwischen und ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper, und mit . Man gebe Beispiele für - Matrizen derart, dass ein Eigenwert zu ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn die direkte Summe seiner Eigenräume ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper, und seien Matrizen, die in der Beziehung
mit einer invertierbaren Matrix stehen. Zeige, ohne das charakteristische Polynom zu verwenden, dass
ist.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein Körper und es sei ein - dimensionaler Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn das charakteristische Polynom ist.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Wir betrachten im Polynomring die Teilmenge
Es sei , , derart, dass es in kein Polynom von kleinerem Grad gibt. Zeige: Jedes Element kann man schreiben als
mit einem .
Aufgabe (3 Punkte)
Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für jeden Vektor die Beziehung
gilt.
Aufgabe (6 Punkte)
Man beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das besagt, dass man in einem euklidischen Vektorraum aus einer gegebenen Basis eine Orthonormalbasis basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume
übereinstimmen für alle .
Aufgabe (6 Punkte)
Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- ist eine Isometrie.
- Für jeden Vektor mit ist auch .
- Für jede Orthonormalbasis , ist auch , eine Orthonormalbasis.
- Es gibt eine Orthonormalbasis , derart, dass auch , eine Orthonormalbasis ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung
an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle die Beziehung
gilt.
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