Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Frohe Weihnachten!!!

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

${\begin{pmatrix}4&7\\5&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine diagonalisierbare Matrix mit dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$. Zeige direkt, dass

${}\chi _{M}\,(M)=0\,$

gilt.

Die beiden nächsten Aufgaben verwenden folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Dann heißt

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$

die Spur von ${}M$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wie findet man die ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$ wieder?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$ mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

${}\chi _{M}=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdot (X-\lambda _{2})^{\mu _{2}}{\cdots }(X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\,.$

Zeige, dass

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ${}U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ${}V$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren ${}v,w\in V$, die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}\,.$

Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$ eine Familie von Untervektorräumen von ${}V$. Man sagt, dass ${}V$ die direkte Summe der ${}U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Jeder Vektor ${}v\in V$ besitzt eine Darstellung

   ${}v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$

   mit ${}u_{i}\in U_{i}$.

2. ${}U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle ${}i$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass ${}V$ die direkte Summe aus ${}U$ und dem orthogonalen Komplement ${}U^{\perp }$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}+\Vert {v-w}\Vert ^{2}=2\Vert {v}\Vert ^{2}+2\Vert {w}\Vert ^{2}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ${}u,v,w\in V$).

1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ genau dann eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

eine Isometrie zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und ${}V$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

${\begin{pmatrix}7&4&5\\6&3&8\\2&2&1\end{pmatrix}}$

durch eine explizite Rechnung.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}1\leq m\leq n$. Man gebe Beispiele für ${}n\times n$- Matrizen ${}M$ derart, dass ${}a$ ein Eigenwert zu ${}M$ ist mit der algebraischen Vielfachheit ${}n$ und der geometrischen Vielfachheit ${}m$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn ${}V$ die direkte Summe seiner Eigenräume ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ Matrizen, die in der Beziehung

$M=BNB^{-1}$

mit einer invertierbaren Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ stehen. Zeige, ohne das charakteristische Polynom zu verwenden, dass

${}\operatorname {Spur} {\left(N\right)}=\operatorname {Spur} {\left(M\right)}\,$

ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann nilpotent ist, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }=X^{n}$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wir betrachten im Polynomring ${}K[X]$ die Teilmenge

$I={\left\{P\in K[X]\mid P(M)=0\right\}}.$

Es sei ${}F\in I$, ${}F\neq 0$, derart, dass es in ${}I$ kein Polynom von kleinerem Grad gibt. Zeige: Jedes Element ${}G\in I$ kann man schreiben als

$G=FQ$

mit einem ${}Q\in K[X]$.

Aufgabe (3 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 3x+y+7z,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für ${}U$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Zeige, dass für jeden Vektor ${}v\in V$ die Beziehung

${}v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Man beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das besagt, dass man in einem euklidischen Vektorraum aus einer gegebenen Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume

${}\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle \,$

übereinstimmen für alle ${}i=1,\ldots ,n$.

Aufgabe (6 Punkte)

Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor ${}v$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist auch ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$.
3. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, ist auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, derart, dass auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle ${}u,v\in V$ die Beziehung

$\left\langle u,v\right\rangle =0{\text{ genau dann, wenn }}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle =0$

gilt.