Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige die Gleichheit  $\bar{\mathbb{Q}}=ℝ$. 

Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und  $T\subseteq M$  eine Teilmenge. Zeige, dass

$\bar{T}=T\cup \mathrm{Rand}(T)$

ist.

Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und  $T\subseteq M$  eine Teilmenge. Zeige, dass

$\bar{T}=\bigcap _{T\subseteq A,A\text{ abgeschlossen}}A$

ist.

Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und  $T\subseteq M$  eine Teilmenge. Es sei $T$ zusammenhängend. Zeige, dass auch der Abschluss $\bar{T}$ zusammenhängend ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Grenzwert einer Funktion in einem Berührpunkt der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei  $T\subseteq M$  eine Teilmenge und sei  $a\in M$  ein Berührpunkt von $T$. Es seien $f:T\to 𝕂$ und $g:T\to 𝕂$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${\lim }_{x\to a}f(x)$ und ${\lim }_{x\to a}g(x)$ existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.

1. Die Summe $f+g$ besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist

   ${\lim }_{x\to a}(f(x)+g(x))={\lim }_{x\to a}f(x)+{\lim }_{x\to a}g(x).$

2. Das Produkt $f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist

   ${\lim }_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))={\lim }_{x\to a}f(x)\cdot {\lim }_{x\to a}g(x).$

3. Es sei $g(x)\ne 0$ für alle $x\in T$ und ${\lim }_{x\to a}g(x)\ne 0$. Dann besitzt der Quotient $f/g$ einen Grenzwert in $a$, und zwar ist

   ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to a}f(x)}{{\lim }_{x\to a}g(x)}.$

Aufgabe

Es sei

$f:[a,b]⟶ℝ$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

$\tilde{f}:ℝ⟶ℝ$

von $f$ gibt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion

$f:\mathbb{Q}⟶\mathbb{Q}$

derart, dass keine stetige Fortsetzung

$\tilde{f}:ℝ⟶\mathbb{Q}$

existiert.

Aufgabe

Es sei  $b>0$  eine reelle Zahl. Zeige, dass die durch

$\sqrt[k]{b}=b^{1/k}$

definierte Folge gegen $1$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl und  $q=n/m\in \mathbb{Q}$.  Zeige, dass die durch

$b^q:={\left(b^n\right)}^{1/m}$

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für $q$ ist.

Aufgabe *

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion

$f:\mathbb{Q}⟶ℝ,q⟼b^q,$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist  $b^{q+q^{\prime }}=b^q\cdot b^{q^{\prime }}$  für alle  $q,q^{\prime }\in \mathbb{Q}$. 
2. Es ist  $b^{-q}=\frac{1}{b^q}$. 
3. Für  $b>1$  und  $q>0$  ist  $b^q>1$. 
4. Für  $b<1$  und  $q>0$  ist  $b^q<1$. 
5. Für  $b>1$  ist $f$ streng wachsend.
6. Für  $b<1$  ist $f$ streng fallend.
7. Es ist  $(b^q{)}^{q^{\prime }}=b^{q\cdot q^{\prime }}$  für alle  $q,q^{\prime }\in \mathbb{Q}$. 
8. Für  $a\in {ℝ}_{+}$  ist  $(ab{)}^q=a^q\cdot b^q$. 

Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼b^x,$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist  $b^{x+x^{\prime }}=b^x\cdot b^{x^{\prime }}$  für alle  $x,x^{\prime }\in ℝ$. 
2. Es ist  $b^{-x}=\frac{1}{b^x}$. 
3. Für  $b>1$  und  $x>0$  ist  $b^x>1$. 
4. Für  $b<1$  und  $x>0$  ist  $b^x<1$. 
5. Für  $b>1$  ist $f$ streng wachsend.
6. Für  $b<1$  ist $f$ streng fallend.
7. Es ist  $(b^x{)}^{x^{\prime }}=b^{x\cdot x^{\prime }}$  für alle  $x,x^{\prime }\in ℝ$. 
8. Für  $a\in {ℝ}_{+}$  ist  $(ab{)}^x=a^x\cdot b^x$. 

Aufgabe

Es sei $b>0$, $b\ne 1$. Definiere die reellen Logarithmen zur Basis $b$ als Umkehrfunktionen zu den reellen Exponentialfunktionen und formuliere deren wichtigste Eigenschaften.

Aufgabe

Definiere für eine Folge in einem metrischen Raum den Begriff Cauchy-Folge. Was ist ein vollständiger metrischer Raum?

Aufgabe

Sei

$T=\{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}\cup \{0\}$

mit der von $ℝ$ induzierten Metrik, sei $M$ ein metrischer Raum, ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $M$ und $x\in M$. Zeige, dass die Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ genau dann gegen $x$ konvergiert, wenn die Abbildung

$T⟶M,\frac{1}{n}⟼x_n,0⟼x,$

stetig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und  $T\subseteq M$  eine Teilmenge. Es sei

$f:T⟶L$

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$ und sei  $a\in T$  ein Punkt, der ein Berührpunkt von $T\setminus \{a\}$ ist. Zeige, dass der Grenzwert

${\lim }_{x\in T\setminus \{a\},x\to a}f(x)$

existiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

$\frac{2x^3+3x^2-1}{x^3-x^2+x+3}$

im Punkt  $a=-1$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der euklidische Raum ${ℝ}^n$ vollständig ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,$

die durch

$f(x,y):=\{\begin{array}{c}0,\text{ falls }x\le 0,\\ 0,\text{ falls }y\le 0,\\ y/x,\text{ falls }x\ge y>0,\\ x/y,\text{ falls }y>x>0,\end{array}$

definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jeder zur $x$-Achse oder zur $y$-Achse parallelen Geraden stetig ist, dass aber $f$ selbst nicht stetig ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ$

eine stetige Funktion $\ne 0$, die die Gleichung

$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$

für alle  $x,y\in ℝ$  erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein  $b>0$  mit  $f(x)=b^x$  gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\phi :{ℝ}^n⟶{ℝ}^m$

stetig und additiv, d.h. es gelte  $\phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)$  für alle  $x,y\in {ℝ}^n$.  Zeige, dass $\phi$ dann $ℝ$-linear ist.