Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 23
- Aufwärmaufgaben
Zeige die Gleichheit .
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei zusammenhängend. Zeige, dass auch der Abschluss zusammenhängend ist.
Zeige, dass der Grenzwert einer Funktion in einem Berührpunkt der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.
Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es seien und Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.
- Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
- Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
- Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist
Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion
derart, dass keine stetige Fortsetzung
existiert.
Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch
definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Es sei , . Definiere die reellen Logarithmen zur Basis als Umkehrfunktionen zu den reellen Exponentialfunktionen und formuliere deren wichtigste Eigenschaften.
Definiere für eine Folge in einem metrischen Raum den Begriff Cauchy-Folge. Was ist ein vollständiger metrischer Raum?
Sei
mit der von induzierten Metrik, sei ein metrischer Raum, eine Folge in und . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn die Abbildung
stetig ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei
eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und sei ein Punkt, der ein Berührpunkt von ist. Zeige, dass der Grenzwert
existiert.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass der euklidische Raum vollständig ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei
eine stetige Funktion , die die Gleichung
für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.
Aufgabe (5 Punkte)
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