Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige die Gleichheit  ${}{\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$. 

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge. Zeige, dass

${}{\overline {T}}=T\cup \operatorname {Rand} \,(T)\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge. Zeige, dass

${}{\overline {T}}=\bigcap _{T\subseteq A,\,A{\text{ abgeschlossen}}}A\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge. Es sei ${}T$ zusammenhängend. Zeige, dass auch der Abschluss ${}{\overline {T}}$ zusammenhängend ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Grenzwert einer Funktion in einem Berührpunkt der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge und sei  ${}a\in M$  ein Berührpunkt von ${}T$. Es seien ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und ${}g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.

1. Die Summe ${}f+g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).$

3. Es sei ${}g(x)\neq 0$ für alle ${}x\in T$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\neq 0$. Dann besitzt der Quotient ${}f/g$ einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}}.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ gibt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$

derart, dass keine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Q}$

existiert.

Aufgabe

Es sei  ${}b>0$  eine reelle Zahl. Zeige, dass die durch

${}{\sqrt[{k}]{b}}=b^{1/k}\,$

definierte Folge gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und  ${}q=n/m\in \mathbb {Q}$.  Zeige, dass die durch

${}b^{q}:={\left(b^{n}\right)}^{1/m}\,$

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ${}q$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist  ${}b^{q+q'}=b^{q}\cdot b^{q'}$  für alle  ${}q,q'\in \mathbb {Q}$. 
2. Es ist  ${}b^{-q}={\frac {1}{b^{q}}}$. 
3. Für  ${}b>1$  und  ${}q>0$  ist  ${}b^{q}>1$. 
4. Für  ${}b<1$  und  ${}q>0$  ist  ${}b^{q}<1$. 
5. Für  ${}b>1$  ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für  ${}b<1$  ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist  ${}(b^{q})^{q'}=b^{q\cdot q'}$  für alle  ${}q,q'\in \mathbb {Q}$. 
8. Für  ${}a\in \mathbb {R} _{+}$  ist  ${}(ab)^{q}=a^{q}\cdot b^{q}$. 

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist  ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$  für alle  ${}x,x'\in \mathbb {R}$. 
2. Es ist  ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$. 
3. Für  ${}b>1$  und  ${}x>0$  ist  ${}b^{x}>1$. 
4. Für  ${}b<1$  und  ${}x>0$  ist  ${}b^{x}<1$. 
5. Für  ${}b>1$  ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für  ${}b<1$  ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist  ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$  für alle  ${}x,x'\in \mathbb {R}$. 
8. Für  ${}a\in \mathbb {R} _{+}$  ist  ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$. 

Aufgabe

Es sei ${}b>0$, ${}b\neq 1$. Definiere die reellen Logarithmen zur Basis ${}b$ als Umkehrfunktionen zu den reellen Exponentialfunktionen und formuliere deren wichtigste Eigenschaften.

Aufgabe

Definiere für eine Folge in einem metrischen Raum den Begriff Cauchy-Folge. Was ist ein vollständiger metrischer Raum?

Aufgabe

Sei

$T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}$

mit der von ${}\mathbb {R}$ induzierten Metrik, sei ${}M$ ein metrischer Raum, ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$ und ${}x\in M$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann gegen ${}x$ konvergiert, wenn die Abbildung

$T\longrightarrow M,\,{\frac {1}{n}}\longmapsto x_{n},\,0\longmapsto x,$

stetig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und sei  ${}a\in T$  ein Punkt, der ein Berührpunkt von ${}T\setminus \{a\}$ ist. Zeige, dass der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in T\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,f(x)$

existiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {2x^{3}+3x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}+x+3}}$

im Punkt  ${}a=-1$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ vollständig ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

${}f(x,y):={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x\leq 0\,,\\0\,,{\text{ falls }}y\leq 0\,,\\y/x\,,{\text{ falls }}x\geq y>0\,,\\x/y\,,{\text{ falls }}y>x>0\,,\end{cases}}\,$

definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jeder zur ${}x$-Achse oder zur ${}y$-Achse parallelen Geraden stetig ist, dass aber ${}f$ selbst nicht stetig ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle  ${}x,y\in \mathbb {R}$  erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein  ${}b>0$  mit  ${}f(x)=b^{x}$  gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

stetig und additiv, d.h. es gelte  ${}\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)$  für alle  ${}x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.  Zeige, dass ${}\varphi$ dann ${}\mathbb {R}$- linear ist.