- Aufwärmaufgaben
Zeige die Gleichheit
.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine Teilmenge. Zeige, dass
-
ist.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine Teilmenge. Zeige, dass
-
ist.
Zeige, dass der
Grenzwert
einer Funktion in einem
Berührpunkt der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.
Es sei ein
metrischer Raum, sei
eine Teilmenge und sei
ein
Berührpunkt von . Es seien
und
Funktionen derart, dass die
Grenzwerte
und
existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.
- Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
-
- Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
-
- Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist
-
Es sei
-
eine
stetige Funktion.
Zeige, dass es eine
stetige Fortsetzung
-
von gibt.
Man gebe ein Beispiel einer
gleichmäßig stetigen Funktion
-
derart, dass keine
stetige Fortsetzung
-
existiert.
Es sei
eine
reelle Zahl.
Zeige, dass die durch
-
definierte
Folge
gegen
konvergiert.
Es sei eine
positive
reelle Zahl.
Zeige, dass die
Funktion
-
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Es sei eine
positive
reelle Zahl.
Zeige, dass die
Exponentialfunktion
-
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Definiere für eine
Folge
in einem
metrischen Raum den Begriff Cauchy-Folge. Was ist ein vollständiger metrischer Raum?
Sei
-
mit der von
induzierten Metrik,
sei ein
metrischer Raum,
eine
Folge in und . Zeige, dass die Folge genau dann gegen
konvergiert, wenn die
Abbildung
-
stetig
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme den
Grenzwert
der
rationalen Funktion
-
im Punkt
.
Betrachte die
Funktion
-
die durch
-
definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von auf jeder zur -Achse oder zur -Achse parallelen Geraden
stetig ist, dass aber selbst nicht stetig ist.