Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 23

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige die Gleichheit .


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei zusammenhängend. Zeige, dass auch der Abschluss zusammenhängend ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Grenzwert einer Funktion in einem Berührpunkt der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es seien und Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.

  1. Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  2. Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  3. Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

von gibt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion

derart, dass keine stetige Fortsetzung

existiert.


Aufgabe

Sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.


Aufgabe *

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .


Aufgabe

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .


Aufgabe

Es sei , . Definiere die reellen Logarithmen zur Basis als Umkehrfunktionen zu den reellen Exponentialfunktionen und formuliere deren wichtigste Eigenschaften.


Aufgabe

Definiere für eine Folge in einem metrischen Raum den Begriff Cauchy-Folge. Was ist ein vollständiger metrischer Raum?


Aufgabe

Sei

mit der von induzierten Metrik, sei ein metrischer Raum, eine Folge in und . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn die Abbildung

stetig ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und sei ein Punkt, der ein Berührpunkt von ist. Zeige, dass der Grenzwert

existiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der euklidische Raum vollständig ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

die durch

definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von auf jeder zur -Achse oder zur -Achse parallelen Geraden stetig ist, dass aber selbst nicht stetig ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

stetig und additiv, d.h. es gelte für alle . Zeige, dass dann -linear ist.



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