- Aufwärmaufgaben
Zeige die Gleichheit
.
Es sei
ein
metrischer Raum und
eine Teilmenge. Zeige, dass
-

ist.
Es sei
ein
metrischer Raum und
eine Teilmenge. Zeige, dass
-

ist.
Zeige, dass der
Grenzwert
einer Funktion in einem
Berührpunkt der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.
Es sei
ein
metrischer Raum, sei
eine Teilmenge und sei
ein
Berührpunkt von
. Es seien
und
Funktionen derart, dass die
Grenzwerte
und
existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.
- Die Summe
besitzt einen Grenzwert in
, und zwar ist
-
- Das Produkt
besitzt einen Grenzwert in
, und zwar ist
-
- Es sei
für alle
und
. Dann besitzt der Quotient
einen Grenzwert in
, und zwar ist
-
Es sei
-
eine
stetige Funktion.
Zeige, dass es eine
stetige Fortsetzung
-
von
gibt.
Man gebe ein Beispiel einer
gleichmäßig stetigen Funktion
-
derart, dass keine
stetige Fortsetzung
-
existiert.
Es sei
eine
reelle Zahl.
Zeige, dass die durch
-
![{\displaystyle {}{\sqrt[{k}]{b}}=b^{1/k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbdae485761ef01fea3cf24dd3c4444274a7a10)
definierte
Folge
gegen
konvergiert.
Es sei
eine
positive
reelle Zahl.
Zeige, dass die
Funktion
-
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Es sei
eine
positive
reelle Zahl.
Zeige, dass die
Exponentialfunktion
-
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Definiere für eine
Folge
in einem
metrischen Raum den Begriff Cauchy-Folge. Was ist ein vollständiger metrischer Raum?
Sei
-
mit der von
induzierten Metrik,
sei
ein
metrischer Raum,
eine
Folge in
und
. Zeige, dass die Folge
genau dann gegen
konvergiert, wenn die
Abbildung
-
stetig
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme den
Grenzwert
der
rationalen Funktion
-
im Punkt
.
Betrachte die
Funktion
-
die durch
-
definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von
auf jeder zur
-Achse oder zur
-Achse parallelen Geraden
stetig ist, dass aber
selbst nicht stetig ist.