Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 23

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Grenzwerte von Abbildungen

Wir betrachten die beiden stetigen Funktionen

und

die beide nicht im Nullpunkt definiert sind. Offensichtlich kann man durch die Festlegung zu einer stetigen Funktion auf ganz fortsetzen. Bei hingegen ist das nicht möglich: wenn man sich auf der positiven Halbgeraden annähert, wachsen die Funktionswerte gegen , wenn man sich auf der negativen Halbgeraden annähert, so wachsen die Funktionswerte gegen , und somit ist jede Fortsetzung nicht stetig. Diese Beobachtung führt zum Begriff des Grenzwertes einer Abbildung, den wir insbesondere im Rahmen der Differentialrechnung verwenden werden.


Definition  

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt


Definition  

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von heißt der Abschluss von . Er wird mit bezeichnet.

Der Abschluss ist eine abgeschlossene Menge, und zwar die kleinste abgeschlossene Menge, die umfasst.


Definition  

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt der Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist . In diesem Fall schreibt man

Wenn der Grenzwert existiert, so ist er eindeutig bestimmt.

Notation

In der Situation von Definition 36.3 wird der Grenzwert, falls er existiert, mit

bezeichnet.




Lemma  

Sei ein [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und sei . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Abbildung besitzt in den Grenzwert .
  2. Zu jeder offenen Menge mit gibt es eine offene Menge mit und mit .
  3. Für jede Folge in , die gegen konvergiert, konvergiert die Bildfolge gegen .

Beweis  

. Da offen ist gibt es ein mit . Aufgrund von (1) gibt es ein mit und wir können nehmen.
. Sei eine gegen konvergente Folge und ein gegeben. Für die offene Menge gibt es nach (2) eine offene Menge mit und . Wegen der Offenheit von gibt es auch ein mit . Da die Folge konvergiert, gibt es ein mit für alle . Für diese ist dann , d.h. die Bildfolge konvergiert.
.  Nehmen wir an, dass nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle ein gibt mit und mit . Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche  , , an und erhalten eine Folge

Die Folge konvergiert dann gegen , die Bildfolge aber nicht gegen ,  im Widerspruch zu (3).



Lemma

Sei ein [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|opt=Siehe}}|opt=Ziel}}|]] sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es seien und Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren.

Dann gelten folgende Beziehungen.

  1. Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  2. Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  3. Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist

Beweis

Siehe Aufgabe 23.6.



Beispiel  

Wir betrachten den Limes

wobei , ist. Für ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit erweitern, und erhält dann

Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, und es ergibt sich insgesamt .




Fortsetzung von stetigen Abbildungen

Definition  

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und es sei . Dann heißt eine Abbildung

eine stetige Fortsetzung von , wenn stetig ist und gilt für alle .



Satz  

Es seien und metrische Räume, eine Teilmenge und

eine stetige Abbildung. Es sei und für jedes existiere der

Grenzwert .

Dann ist die durch

definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von auf .

Beweis  

Sei und vorgegeben. Da ein Berührpunkt von ist und da der Grenzwert von in existiert (bei existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein mit für alle . Sei nun mit . Es gibt ein mit und mit . Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an ist . Insgesamt ist daher




Satz  

Sei ein [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] und eine Teilmenge mit dem Abschluss . Es sei

eine gleichmäßig stetige Abbildung.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

Beweis  

Aufgrund von Satz 23.9 genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert für jedes existiert. Sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge konvergiert. Da diese Bildfolge in ist, und vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Sei vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von gibt es ein derart, dass ist für alle mit

Wegen der Konvergenz der Folge gibt es ein mit für alle . Für alle gilt daher und somit insgesamt


Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen und die Folge betrachtet, die ebenfalls gegen konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.




Korollar  

Es sei

eine gleichmäßig stetige Funktion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz 23.10 und aus .



Reelle Exponentialfunktionen

Für jede positive reelle Zahl und ist eine positive reelle Zahl. Für eine weitere natürliche Zahl und eine positive reelle Zahl ist definiert. Für eine rationale Zahl ist daher definiert, und zwar ist dies unabhängig von der Wahl der Zähler und Nenner in der Darstellung von .



Lemma

Es sei eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Funktion

folgende Eigenschaften.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .

Beweis

Siehe Aufgabe 23.11.




Lemma  

Es sei eine positive reelle Zahl.

Dann ist die Funktion

auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig stetig.

Beweis  

Wir betrachten Intervalle der Form mit . Aufgrund der Monotonie ist

für alle . Sei vorgegeben. Die Folge konvergiert gegen , daher gibt es insbesondere ein derart, dass

ist. Wir setzen . Dann gelten für zwei beliebige rationale Zahlen mit

unter Verwendung der Funktionalgleichung die Abschätzungen (wir beschränken uns auf den Fall und )


Die Exponentialfunktionen für die Basen und .


Aufgrund von Lemma 23.13 und Korollar 23.11 (mit einem beliebigen Intervall statt ganz .) lassen sich die zunächst nur auf definierten Exponentialfunktionen zu stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen fortsetzen. In diesem Sinn ist die folgende Definition zu verstehen.


Definition  

Sei eine positive reelle Zahl. Die Funktion

heißt Exponentialfunktion zur Basis .



Lemma

Es sei eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .

Beweis

Siehe Aufgabe 23.12.

Eine besondere Rolle spielt die Exponentialfunktion zur Basis . Wir werden dafür bald eine weitere Beschreibung kennenlernen, die auch für komplexe Exponenten erklärt ist.


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