Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 47/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
- Die Bilinearform ist nicht ausgeartet.
- Die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis ist invertierbar.
- Die Bilinearform ist vom Typ (mit einem .)
Es sei eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform vom Typ auf einem - dimensionalen reellen Vektorraum. Es sei eine Basis von und es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von gleich ist.
Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.
Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion
Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in oder Variablen für die Grade .
In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.
Es sei und ein - Tupel natürlicher Zahlen. Es sei . Dann nennt man die Zahl
einen Polynomialkoeffizienten.
In einem Studium werden Leistungsnachweise verlangt, und zwar Seminarscheine, Klausuren, mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?
Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen
bei denen das Urbild zu aus genau Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten
ist.
Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der -Tupel
in denen die Zahl genau -mal vorkommt, gleich
ist.
Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel einer -elementigen Menge gleich
ist.
Es seien reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Polynom in Variablen vom Grad . Zeige, dass mit dem Taylor-Polynom vom Grad von im Nullpunkt übereinstimmt.
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