Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/33/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 2 2 2 4 4 1 4 6 4 3 6 1 4 4 3 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Die Gaußklammer einer reellen Zahl .
  3. Eine streng fallende Funktion .
  4. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  5. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  6. Die Determinante einer -Matrix .


Lösung

  1. Man sagt, dass die Menge eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.
  2. Die Gaußklammer ist durch

    definiert.

  3. Die Funktion

    heißt streng fallend, wenn

  4. Das Polynom

    heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu in .

  5. Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
  6. Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
  2. Der Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .
  3. Der Determinantenmultiplikationssatz.


Lösung

  1. Jede natürliche Zahl , , besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
  2. Die Funktion

    ist differenzierbar und ihre Ableitung ist

  3. Es sei ein Körper und . Dann gilt für Matrizen die Beziehung


Aufgabe (3 Punkte)

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.


Lösung Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.


Lösung

Es ist

und

Somit ist das Produkt

Die Kommadarstellung davon ist


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Nach dem binomischen Lehrsatz ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das an der Stelle den Wert und an der Stelle den Wert besitzt.


Lösung

Der Ansatz

führt auf die beiden Gleichungen

und

besitzt. Somit ist

und daher

und

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Lösung

Es ist

vorausgesetzt, der Wurzelausdruck ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung

ist äquivalent zu

was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu

ist. Umstellen und Erweitern liefert

Dies ist äquivalent zu

und somit zu


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck


Lösung

In ist der Gesamtausdruck die Potenz, ist die Basis und ist der Exponent.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten ein normiertes Polynom vom Grad ,

mit . Zeige, dass es Zahlen mit

gibt.


Lösung

Es ist

Der Vergleich mit führt auf das Gleichungssystem

und

Wir lösen die erste Gleichung nach auf und erhalten

Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt

Somit muss die quadratische Gleichung

gelöst werden. Dies führt auf

was stets eine Lösung besitzt. Die Lösungen sind

wobei dann die andere Lösung ist ( und sind in der Fragestellung und in dem Gleichungssystem gleichberechtigt). Mit diesen und hat man Übereinstimmung in den höheren Koeffizienten und durch Wahl des linearen Terms kann man überhaupt Übereinstimmung erreichen.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Kettenregel für differenzierbare Funktionen.


Lösung

Aufgrund von Satz 14.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) kann man

und

schreiben. Daher ergibt sich

Die hier ablesbare Restfunktion

ist stetig in mit dem Wert .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Lösung

Die Ableitung von ist

die Ableitung davon ist

und die Ableitung davon ist

Das Taylorpolynom vom Grad im Punkt ist daher


Aufgabe (6 Punkte)

Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?


Lösung

Wir betrachten zur Exponentialreihe die Teilpolynome

Die Differenz der Exponentialfunktion zu diesen Polynomen ist somit

und der Betrag davon soll für jedes maximal gleich sein. Wegen

müssen wir so wählen, dass

ist. Wir betrachten

Bei liegt rechts eine geometrische Reihe vor, bei ist deren Wert maximal gleich . Bei (bzw. ) können wir grob abschätzen

Wegen ist dies bei kleiner als . Daher ist ein Polynom, das die Exponentialfunktion wie gewünscht approximiert.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Lösung

Das Zählerpolynom ist die Ableitung des Nennerpolynoms, deshalb ist

eine Stammfunktion.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die erste Gleichung zweimal auf die vierte addieren . Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Es ergibt sich nun wenn man die erste Gleichung mit 4 multipliziert und 3 mal die zweite subtrahiert

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die -Matrizen über der Form

mit


Lösung

Die Gesamtbedingung führt wegen

auf

und somit auf die drei Bedingungen

und

Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gilt

Bei sind also

Lösungen. Bei muss zusätzlich

sein, und daher sind

weitere Lösungen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

zueinander ähnlich sind.


Lösung

Die Matrix bildet

daher ist . Die Matrix bildet

daher ist . Die beiden Matrizen können also nicht die gleiche lineare Abbildung beschreiben und sind somit nicht zueinander ähnlich.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Dies ergibt zunächst den Eigenwert . Durch quadratisches Ergänzen (oder direkt) sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen und , die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.