Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/49/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 6 3 5 3 3 1 2 5 2 5 5 4 4 4 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Eine ungerade Funktion .
  3. Die Kosinusreihe zu .
  4. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .

  5. Ein Vektorraum über einem Körper .
  6. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.


Lösung

  1. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  2. Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  3. Die Kosinusreihe ist
  4. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .

  5. Unter einem Vektorraum über versteht man eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen

    und

    derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig):

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. Zu jedem gibt es ein mit ,
    5. ,
    6. ,
    7. ,
    8. .
  6. Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.
  2. Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
  3. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
    auf einem reellen Intervall .


Lösung

  1. Eine reelle Folge besitzt maximal einen Grenzwert.
  2. Für jedes ist die Exponentialreihe
    absolut konvergent.
  3. Satzantwort Für einen beliebigen Punkt ist die Integralfunktion

    differenzierbar

    und es gilt
    für alle .


Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen und Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

  1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
  2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
  3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?


Lösung

Die Gewichte der Äpfel seien

und die Bedingungen sind

und

  1. Wenn besonders groß werden soll, so hat man die besten Chancen beim Gesamtgewicht Gramm und wenn die fünf übrigen Äpfel alle möglichst klein sind. Daher setzen wir

    und

    an. Dies führt auf

    Division führt auf

    also gerundet Gramm. 90 Prozent davon sind

    Die anderen Äpfel der Packung wiegen also Gramm.

  2. Der analoge Ansatz führt auf das Gesamtgewicht Gramm,

    und

    Dann ist

    Division ergibt

    und somit

    Der leichteste Apfel hat also das Gewicht Gramm, die anderen fünf Äpfel in der Packung wiegen Gramm.

  3. Es ist

    der größtmögliche Apfel in einer Packung ist also Prozent größer als der kleinstmögliche Apfel in einer Packung.


Aufgabe (3 Punkte)

Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich -Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern widergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.


Lösung

4Mengennur2Schritte.png

Es gibt Möglichkeiten.


Aufgabe (5 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu zwei einziffrigen natürlichen Zahl

das Produkt berechnet, und zwar die Zehneranzahl und die Eineranzahl ausgibt.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die einstellige Zahlen
    (also zwischen und ) enthalten können.
    • Er kann einen Speicher leeren.
    • Er kann einen Speicherinhalt um erhöhen.
    • Er kann zu einem bestimmten Befehl springen.
    • Er kann Speicherinhalte miteinander vergleichen und abhängig davon zu einem bestimmten Befehl springen.
    • Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

Das Programm soll „Das Produkt von“ a „und“ „ist“ c d ausdrucken, wobei ist, und anschließend anhalten.


Lösung

  1. Leere den siebten Speicherinhalt.
  2. Vergleiche den ersten Speicherinhalt mit dem sechsten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 12 (sonst weiter).
  3. Erhöhe den sechsten Speicherinhalt um 1.
  4. Vergleiche den zweiten Speicherinhalt mit dem siebten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 1 (sonst weiter).
  5. Erhöhe den siebten Speicherinhalt um 1.
  6. Vergleiche den dritten Speicherinhalt mit dem fünften Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 7. Wenn diese verschieden sind, so gehe zu Befehl 10.
  7. Leere den fünften Speicher
  8. Erhöhe den vierten Speicher um 1.
  9. Gehe zu Befehl 4.
  10. Erhöhe den fünften Speicher um 1.
  11. Gehe zu Befehl 4.
  12. Drucke „Das Produkt von“ aus.
  13. Drucke den ersten Speicherinhalt aus.
  14. Drucke „und“ aus.
  15. Drucke den zweiten Speicherinhalt aus.
  16. Drucke „ist“ aus.
  17. Drucke den vierten Speicherinhalt aus.
  18. Drucke den fünften Speicherinhalt aus.
  19. Halte an.

Erläuterung: Im vierten und fünften Speicher wird das Ergebnis durch sukzessives Erhöhen um berechnet. Die äußere Schleife (Befehl 1-3) bewirkt, mit dem sechsten Speicher als Zählspeicher, dass -fach mit sich selbst addiert wird. Diese Addition geschieht in der inneren Schleife (Befehl 4-11) mit dem siebten Speicher als Zählspeicher, wobei in Befehl 7-11 die eigentliche Erhöhung des Zwischenergebnisses gemacht wird und berücksichtigt wird, ob die Erhöhung im Einerbereich (fünfter Speicher) oder im Zehnerbereich (vierter Speicher) stattfindet.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

seien durch

und

gegeben.

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne auf zwei unterschiedliche Arten.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist einerseits
    und andererseits


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

    mit , für die die einzige Lösung ist.

  2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

    mit , für die eine Lösung ist.


Lösung

Für jede ganze Zahl ist generell

Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit und . Wenn man darin gleich setzt, ergibt sich wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus gefunden, die als Lösung besitzen. Wenn man

setzt, so erhält man die quadratische Gleichung

Für diese ist nur eine Lösung.


Aufgabe (1 Punkt)

Man finde ein Polynom mit , , und .


Lösung

Das Polynom erfüllt offenbar diese Eigenschaften.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Da nicht konstant ist, ist auch nicht konstant und besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra eine Nullstelle. Also gibt es ein mit

also


Aufgabe (5 Punkte)

Zu einem Startwert sei die Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, für welche die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir betrachten die Funktion . Es ist . Die Ableitung der Funktion ist . Daher verläuft der Graph von für echt oberhalb der Diagonalen und für echt unterhalb der Diagonalen. Insbesondere ist , wobei Gleichheit nur bei

gilt. Insbesondere ist also die rekursiv definierte Folge wachsend. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt für den Grenzwert einer solchen Folge (falls er existiert)

Diese Bedingung wird nur von erfüllt und dies ist der einzige mögliche Grenzwert. Bei einem Startwert kann die Folge wegen des Wachstumsverhaltens nicht konvergieren. Bei einem Startwert ist

Daher ist eine solche Folge wachsend und nach oben beschränkt und muss somit konvergieren, und zwar gegen den einzig möglichen Grenzwert .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe mit für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.


Lösung

Nach Voraussetzung besitzt die Potenzreihe die Gestalt

Daher ist

Die Funktion ist also ungerade.


Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt und Radius und den unteren Halbkreis mit Mittelpunkt und Radius .

  1. Skizziere die Situation.
  2. Definiere eine Funktion

    deren Graph mit den beiden Halbkreisen übereinstimmt.

  3. Ist an der Stelle differenzierbar?


Lösung

  1. Skizze.
  2. Die erste Kreisgleichung ist

    die zweite Kreisgleichung ist

    Also ist

    eine beschreibende Funktion.

  3. Die Funktion ist an der Stelle nicht differenzierbar. Der Differenzenzenquotient für ist
    Für ist der Limes des Zählers gleich und der Limes des Nenners ist . Deshalb divergiert der Differenzenquotient bestimmt gegen und somit existert der Differentialquotient nicht.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Lösung

Es sei

eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien und das Minimum bzw. das Maximum der Funktion. Dann ist insbesondere für alle und

Daher ist mit einem und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Der Graph der Funktion

und die -Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.


Lösung

Es ist

die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls . Eine Stammfunktion von ist

und somit ist

Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus

zu

Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt

Die Bedingung

führt auf

und damit auf

Also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper. Der -Vektorraum sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die Untervektorräume , die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.


Lösung

Die Untervektorräume des sind der Nullraum, die Geraden durch den Nullpunkt und die Gesamtebene. Der Nullraum und die Ebene sind offenbar unter der komponentenweisen Multiplikation abgeschlossen. Eine Gerade durch den Nullpunkt hat entweder die Form

oder

mit einem . Die erstgenannte Gerade (die -Achse) ist multiplikativ abgeschlossen, da ja

wieder dazu gehört. Sei also

Die multiplikative Abgeschlossenheit bedeutet, dass für beliebige das Produkt

wieder auf der Geraden liegt. Dies ist genau bei

der Fall, also bei

was oder bedeutet. Es sind also auch noch die -Achse und die Diagonale unter der Multiplikation abgeschlossen, und keine weiteren Untervektorräume.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper . Es sei

für jede -Matrix vom Rang . Zeige


Lösung

Es sei

angenommen. Dann gibt es einen Vektor mit

Wir ergänzen zu einer Basis

von . Es sei die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch und für festgelegte lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von ist , da ja das Bild gerade ist, und es ist

also ist

im Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Lösung

Die Determinante von ist

und die Determinante von ist

Das Produkt der beiden Matrizen ist

Die Determinante davon ist

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung zu einem Drehwinkel , , über .


Lösung

Bei liegt die Identität vor, dafür ist der einzige Eigenwert, jeder Vektor ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ist . Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor . Dafür ist der einzige Eigenwert, jeder Vektor ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ist . Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, so dass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen und alle Eigenräume der Nullraum sind.