- Partielle Ableitungen
Es sei
eine durch
-
gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index
die übrigen Variablen
,
,
als Konstanten, so erhält man eine Abbildung
,
die nur von
abhängt
(entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter).
Falls diese Funktion, als Funktion in einer Variablen, differenzierbar ist, so sagen wir, dass
partiell differenzierbar bezüglich
ist und bezeichnen diese Ableitung mit
. Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese einfach berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von
.
Es sei
offen und sei eine Abbildung
durch
-

gegeben. Es sei
ein Punkt. Für fixierte Indizes
und
betrachten wir die Abbildung
-
(wobei

ein reelles Intervall mit
derart sei, dass
gilt)
als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen
,
,
fixiert seien. Ist diese Funktion in
differenzierbar,
so heißt
partiell differenzierbar in
bezüglich der Koordinate
. Man bezeichnet diese Ableitung
(welche ein Element in
ist)
mit
-
und nennt sie die
-te partielle Ableitung von
in
.
Die Abbildung
heißt partiell differenzierbar im Punkt
, falls für alle
und
die partiellen Ableitungen in
existieren. Die
-te partielle Ableitung von
in
wird mit
-

bezeichnet.
Diese Definition führt die
-te partielle Ableitung einer Funktion
auf den Ableitungsbegriff in einer Variablen zurück, indem die anderen Variablen „festgehalten“ und als Parameter betrachtet werden. Daher bedeutet die Existenz der
-ten partiellen Ableitung von
im Punkt
einfach die Existenz des
Limes
-
Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Insbesondere machen partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist, bzw. wenn eben von vornherein ein
betrachtet wird.
Es sei
offen,
ein Punkt und sei
-
eine
Abbildung.
Dann ist
in
genau dann
partiell differenzierbar,
wenn die
Richtungsableitungen
von sämtlichen Komponentenfunktionen
in
in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
In diesem Fall stimmt die
-te partielle Ableitung
von
in
mit der
Richtungsableitung
von
in
in Richtung des
-ten Standardvektors
überein, und
ist in
genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in
in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
Es sei
.
Wir können uns wegen
Fakt *****
auf eine einzige Komponentenfunktion
beschränken. Da
partielle Ableitungen
die
Ableitungen
von Funktionen in einer Variablen sind, ergibt sich


Es sei
offen
und sei eine
Abbildung
-
gegeben. Dann heißt
partiell differenzierbar, wenn
in jedem Punkt
partiell differenzierbar
ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
-
die
-te partielle Ableitung von
.
Es sei
offen
und sei eine
Abbildung
-
gegeben, die in
partiell differenzierbar
sei. Dann heißt die Matrix
-

die Jacobi-Matrix zu
im Punkt
.
- Höhere Richtungsableitungen
Es seien
und
endlichdimensionale
-Vektorräume und
eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung
und einen fixierten Vektor
ist die Richtungsableitung in Richtung
(falls diese existiert)
selbst eine Abbildung
-
Als solche ist es sinnvoll zu fragen, ob
in Richtung
differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
-
eine
Abbildung
auf einer offenen Menge
und
Vektoren in
. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von
in Richtung
existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung
existiert und davon die
Richtungsableitung
in Richtung
existiert. Sie wird mit
-
bezeichnet.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und
-
eine
Abbildung
auf einer
offenen Menge
.
Man sagt, dass
-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl
von
Vektoren aus
die
höhere Richtungsableitung
-
in Richtung
existiert und
stetig
ist.
Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung
in jede Richtung
existiert und stetig ist.
Polynomfunktionen sind beliebig oft stetig differenzierbar, siehe
Aufgabe 45.5.
Auch partielle Ableitungen kann man wie Richtungsableitungen hintereinanderausführen. Dies führt zu Schreibweisen wie
-
und Ähnliche.
- Der Satz von Schwarz
In diesem Beispiel zeigt sich ein allgemeiner Sachverhalt, der
Satz von Schwarz
(oder auch Satz von Clairaut) heißt.
Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.
Durch Betrachten der einzelnen Komponenten von
bezüglich einer
Basis
von
können wir annehmen, dass
und
ist. Wir wollen den eindimensionalen
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
anwenden. Sei
ein fixierter Punkt. Wir betrachten die Abbildung
und studieren diese für hinreichend kleine
und
. Wir fixieren diese
(für den Moment)
und betrachten die differenzierbare Abbildung
-
Nach
dem Mittelwertsatz
gibt es ein
(von
und
abhängiges)
mit
-

Nun wenden wir erneut
den Mittelwertsatz
auf die differenzierbare Abbildung
-
an, und erhalten die Existenz eines
mit
-

Zusammen erhalten wir
-

Wenden wir denselben Trick in umgekehrter Reihenfolge an, so erhalten wir
und
,
sodass dieser Ausdruck auch gleich
-
ist. Somit schließen wir für
(hinreichend kleine)
gegebene
,
dass positive
und
existieren mit
-

Für
und
konvergieren auch
und
gegen
. Die Stetigkeit der beiden zweiten Richtungsableitungen impliziert für
die Gleichheit
-


