Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 42

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

für .


Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

aus Aufgabe 42.1 das transformierte Vektorfeld zur durch die Matrix gegebenen linearen Abbildung . Bestimme die Lösungen zu diesem transformierten Vektorfeld.


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen (für ) des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und seien

differenzierbare Funktionen mit

für alle . Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Zeige, dass sowohl als auch Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.


Aufgabe

Es sei

eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

seien. Zeige, dass die einzige konstante Lösung der linearen Differentialgleichung die Nulllösung ist.


Aufgabe *

Es sei

ein lineares Differentialgleichungssystem auf ( ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt

mit einer geeigneten Funktion

besitzt.


Aufgabe

Es sei eine (variable) -Matrix, deren Einträge Funktionen

seien. Es sei ein Eigenvektor zum Eigenwert für alle . Zeige, dass eine Lösung der linearen Differentialgleichung ist.


Aufgabe

Es sei eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

seien. Es sei ein (konstanter) Eigenvektor von zum (variablen, von differenzierbar abhängigen) Eigenwert . Zeige durch ein Beispiel, dass keine Lösung der linearen Differentialgleichung sein muss.


Aufgabe

Es sei

eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

seien. Es sei ein (variabler, von differenzierbar abhängiger) Eigenvektor von zum konstanten Eigenwert . Zeige durch ein Beispiel, dass keine Lösung der linearen Differentialgleichung sein muss.


Aufgabe

Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass die transformierte Differentialgleichung auf ebenfalls linear ist.


Aufgabe

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung

bis zur fünften Ordnung.


Aufgabe

Es sei die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von nach und die Ableitung, aufgefasst als Operator[1]

Zu einem Polynom , , betrachten wir den Operator

Berechne für und . Zeige, dass eine lineare Abbildung auf ist.


Aufgabe

Es sei und . Zeige, dass der Differentialoperator die Funktionen mit auf die Nullfunktion abbildet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

  1. Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion zu einer Lösung erfüllen muss.
  2. Finde eine Lösung für aus Teil (1).
  3. Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine nichttriviale Lösung (für ) zum linearen Differentialgleichungssystem

mit Hilfe von Aufgabe 42.8.


Die für , , und ein definierte lineare Differentialgleichung

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass das -te Legendre-Polynom[2]

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung

bis zur sechsten Ordnung.




Fußnoten
  1. Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator.
  2. Hier bedeutet das hochgestellte die -te Ableitung.


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