Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 52

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Übungsaufgaben

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe

Untersuche die Addition

und die Multiplikation

auf kritische Punkte und auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .


Aufgabe *

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Man untersuche die Funktion

auf Extrema (vergleiche Beispiel 52.4), indem man die Funktion als Hintereinanderschaltung

mit , , auffasst und Aufgabe 51.1 und Aufgabe 51.2 heranzieht.


Aufgabe

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

in jedem Punkt.


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  2. Bestimme die kritischen Punkte von .
  3. Bestimme die Hesse-Matrix zu in einem Punkt .
  4. Bestimme die Eigenräume der Hesse-Matrix zu im Punkt .
  5. Bestimme den Typ der Hesse-Form zu im Punkt mit Hilfe des Eigenwertkriteriums.


Aufgabe *

Wir betrachten die Determinante für -Matrizen als Funktion

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu und die kritischen Punkte.
  2. Untersuche auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den Typ der Hesse-Matrix im Nullpunkt.
  3. Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum

    auf dem die (Einschränkung der) Determinante ein lokales Minimum besitzt.


Aufgabe *

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen mit eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ besitzt.


Aufgabe

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ein kritischer Punkt. Es sei ein Eigenvektor zur Hesse-Matrix in mit einem positiven Eigenwert. Zeige, dass in kein lokales Maximum besitzt.


Aufgabe *

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe *

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.


Aufgabe *

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit

für alle .

a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.


Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion


Aufgabe *

Waeller39.jpg

Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion (alles in Meter)

beschrieben.

  1. In welchem Punkt (welchen Punkten) besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
  2. Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt konstant den Grundabstand besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.


Aufgabe

Bestimme für die Funktion

den maximalen Definitionsbereich und untersuche die Funktion auf Extrema.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 18.10 an.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

  1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung in Abhängigkeit von und .
  2. Bestimme das Punktepaar zwischen und , für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, , offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

eine Funktion und betrachte

Zeige, dass allenfalls im Nullpunkt ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion und es sei ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung derart, dass ist für alle , . Zeige, dass dann in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.



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