Kurs:Riemannsche Flächen/3/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 10 | 5 | 3 | 2 | 4 | 5 | 4 | 3 | 3 | 6 | 4 | 5 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen.
- Eine Überlagerung zwischen topologischen Räumen.
- Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum .
- Eine meromorphe Funktion auf einer riemannschen Fläche .
- Ein Divisor auf einer riemannschen Fläche .
- Das Geschlecht einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Halme der Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche.
- Der Satz über den Grad von Hauptdivisoren.
- Die Serre-Dualität.
Aufgabe (10 Punkte)
Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.
Aufgabe (5 Punkte)
Beschreibe Aspekte der Analysis, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei
eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage die induzierte Topologie von und die Surjektion habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element eine offene Umgebung und einen stetigen Schnitt zu gibt. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also
ebenfalls exakt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei eine riemannsche Fläche und sei eine holomorphe Funktion auf . Zeige, dass der Funktionskeim zu einem Punkt nur zu einem Funktionskeim (in einem Punkt ) analytisch fortgesetzt werden kann.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung
zwischen riemannschen Flächen und und einer holomorphen Differentialform auf mit dem zugehörigen Divisor der zurückgezogene Divisor im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform ist.
Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)
Es sei ein Punkt der projektiven Geraden und .
- Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe unabhängig vom Punkt ist. Wir bezeichnen sie mit .
- Bestimme eine
Basis
des Vektorraumes als Untervektorraum von
- Bestimme die Dimension von .
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht . Es sei ein Divisor auf vom Grad und sei die zugehörige invertierbare Garbe auf .
Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)
Wir betrachten die meromorphe Differentialform auf der projektiven Geraden .
- Bestimme zu jedem Punkt den zugehörigen Hauptteil der Differentialform.
- Berechne in jedem Punkt das Residuum.
- Bestätige, dass das Gesamtresiduum gleich ist.
Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)
Es sei , , die durch die rationale Funktion gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.
- Bestimme den Verzweigungsdivisor von .
- Beweise
die Formel von Riemann-Hurwitz
in diesem Fall direkt.