Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 19/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Konstruiere einen Körper mit Elementen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Primzahl und ein Körper mit Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen und gibt es? Man betrachte beide Richtungen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus invariant unter sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei

die -te Iteration des Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass es maximal Elemente gibt, die unter invariant sind, und dass diese Elemente einen Unterkörper von bilden.


Aufgabe Aufgabe 19.6 ändern

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Gehe zur Seite

Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln

und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.


Aufgabe Aufgabe 19.8 ändern

Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

b) Berechne in das Produkt .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .


Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms in .

b) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von über .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Sei ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich . Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ein Quadrat in ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige endliche Körper.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik .

a) Zeige, dass es in Elemente gibt, die keine Quadratwurzel besitzen.

b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale Körpererweiterung

vom Grad zwei gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die kommutativen Ringe , und . Bestimme alle Ringhomomorphismen zwischen diesen drei Ringen.Fakt


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit Elementen.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein Zahlbereich und es sei ein Primideal. Zeige, dass die Norm von eine echte Primzahlpotenz ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl, mit und sei der Körper mit Elementen und der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring zu einem Ideal endlich ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen der Gleichung

für die Körper , und .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

    mit linear unabhängig sind.

  2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

    mit linear unabhängig sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Zahlbereich und sei eine -Basis von mit Diskriminante

Es sei . Zeige, dass eine -Basis des Hauptideals bildet und dass gilt:


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl und . Zeige: ist ein Unterkörper von genau dann, wenn ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei eine echte Primzahlpotenz und der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in jedes Element aus ein Quadrat ist.


Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von , ähnlich wie in Lemma 19.9.



<< | Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)