Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 24/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 24.1 ändern

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, den Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}q_{2}\right)}=\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)}+\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}$.
2. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}+q_{2}\right)}\geq \min\{\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}\}$.

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus

$Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}$

definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in Q(R)$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass ${}f\in R$ genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ ein effektiver Divisor ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor ${}D$ den „konjugierten Divisor“ ${}{\overline {D}}$. Zeige, dass für ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, die Beziehung

${}{\overline {\operatorname {div} {\left(q\right)}}}=\operatorname {div} {\left({\overline {q}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=14$. Berechne zu

${}q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,$

den zugehörigen Hauptdivisor.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+6)\,.$

Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {-6}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine rationale Funktion ${}{\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$, die an der Stelle ${}2-{\mathrm {i} }$ einen Pol der Ordnung ${}4$, in ${}-3+5{\mathrm {i} }$ eine Nullstelle der Ordnung ${}2$ und in ${}-3$ einen Pol der Ordnung ${}3$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\neq 0$ eine rationale Funktion ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}f$ in ${}a\in {\mathbb {C} }$ genau dann eine Nullstelle der Ordnung ${}k$ besitzt, wenn ${}f^{-1}$ in ${}a$ einen Pol der Ordnung ${}k$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen

${\frac {4}{7}},\,{\frac {7}{10}},\,{\frac {13}{8}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich

${\frac {11}{77}},\;{\frac {25}{49}},\;{\frac {82}{15}}.$

Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus ${}Q(R)=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, das durch die beiden Erzeuger

${\frac {5}{7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {-8+6{\mathrm {i} }}{5}}$

gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ ein gebrochenes Ideal zu einem Zahlbereich ${}R$. Zeige, dass

${}{\mathfrak {f}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$

ebenfalls ein gebrochenes Ideal ist.

Aufgabe * Aufgabe 24.12 ändern

Es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale in einem Zahlbereich ${}R$. Es gelte

${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}=R\,.$

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {f}}^{-1}\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem Zahlbereich ${}R$ mit dem zugehörigen effektiven Divisor ${}E$. Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal

${}{\mathfrak {a}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R\right\}}\,$

gleich dem zu ${}-E$ gehörenden gebrochenen Ideal ${}\operatorname {Id} (-E)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale.

1. Zeige, dass wenn es ein ${}r\in Q(R)$, ${}r\neq 0$, mit

   ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$

   gibt, dass dann die Multiplikation mit ${}r$, also

   $Q(R)\longrightarrow Q(R),\,f\longmapsto rf,$

   einen ${}R$- Modulisomorphismus

   ${\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$

   induziert.

2. Zeige, dass wenn es irgendeinen ${}R$-Modulisomorphismus

   $\varphi \colon {\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$

   gibt, dass es dann schon ein ${}r\in Q(R)$ mit

   ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$

   gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.

Aufgabe Aufgabe 24.15 ändern

Beweise Lemma 24.12.

Aufgabe Aufgabe 24.16 ändern

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.13 aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ nur endlich viele minimale Elemente besitzt.

Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}A$ und ${}B$. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$ nennt man das von ${}\varphi {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ erzeugte Ideal das Erweiterungsideal von ${}{\mathfrak {a}}$ unter ${}\varphi$. Es wird mit ${}{\mathfrak {a}}B$ bezeichnet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein Ringhomomorphismus und es seien ${}{\mathfrak {a}}_{1},{\mathfrak {a}}_{2}$ Ideale in ${}A$. Beweise für die Erweiterungsideale die Gleichheiten

${}{\left({\mathfrak {a}}_{1}+{\mathfrak {a}}_{2}\right)}B={\mathfrak {a}}_{1}B+{\mathfrak {a}}_{2}B\,$

und

${}{\left({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\right)}B={\left({\mathfrak {a}}_{1}B\right)}\cdot {\left({\mathfrak {a}}_{2}B\right)}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R=A_{-13}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-13}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-13$. Berechne zu

$q={\frac {2}{3}}-{\frac {5}{7}}{\sqrt {-13}}$

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich

${\frac {3}{4}}-{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} },\,2+{\frac {2}{3}}{\mathrm {i} },\,{\frac {1}{7}}+7{\mathrm {i} }.$

Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale ${}\neq 0$ eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ (mit ${}f_{i}\neq 0$) ein Ideal in einem Zahlbereich ${}R$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {a}}^{-1}$ die Gestalt

${}{\mathfrak {a}}^{-1}=(f_{1}^{-1},\ldots ,f_{n}^{-1})\,$

hat. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal sein muss.