Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 15/kontrolle

Bevor wir uns mit algebraischer Zahlentheorie, insbesondere mit quadratischen Zahlbereichen, genauer beschäftigen können, brauchen wir einige neue algebraische Begriffe. Zur Motivation betrachten wir das folgende kommutative Diagramm.

{\begin{matrix}\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\end{matrix}}

In der unteren Zeile stehen Körper, und zwar ist ${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}2$ (d.h. die ${}\mathbb {Q}$ -Vektorraumdimension von ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ ist ${}2$ ). Ferner ist ${}\mathbb {Q}$ der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ enthält, und ebenso ist ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ der kleinste Körper, der die Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ enthält. Die Gaußschen Zahlen sind, in einem zu präzisierenden Sinne, die „ganzen Zahlen“ im Körper ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ .

Dies ist nicht selbstverständlich. Betrachten wir stattdessen die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ (ebenfalls vom Grad zwei) was ist dann der Ring der ganzen Zahlen? Es liegt das Diagramm

{\begin{matrix}\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]&\longrightarrow &\mathbb {Z} [\omega ]\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]&=&\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\end{matrix}}

vor. Hier ist ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ und ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen, den wir in der zweiten Vorlesung kennengelernt haben. Für die beiden Ringe ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ und ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ist ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ der kleinste sie enthaltende Körper. Auf den ersten Blick wirkt vermutlich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ natürlicher. Andererseits ist der Ring der Eisenstein-Zahlen euklidisch und damit faktoriell, hat also deutlich bessere Eigenschaften, während nach Aufgabe 5.20 ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ nicht faktoriell ist.

Im Folgenden werden wir bestimmen, was für eine beliebige endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ der „richtige“ Ganzheitsring in ${}L$ ist. Zuerst präzisieren wir, was wir eben mit den Worten umschrieben haben, dass ${}\mathbb {Q}$ der kleinste Körper ist, der ${}\mathbb {Z}$ enthält.

Der Quotientenkörper

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Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

{}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die (Erweiterungs- bzw. Kürzungs)-Regel

{}{\frac {r}{s}}={\frac {tr}{ts}}\,

( $t\neq 0$ ). Für die Operationen gelten

{}{\frac {r}{s}}+{\frac {t}{u}}={\frac {ru+ts}{su}}\,

(auf einen Hauptnenner bringen) und

{}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {t}{u}}={\frac {rt}{su}}\,.

Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element

{}{\frac {r}{s}}\neq 0\,

ist ${}{\frac {s}{r}}$ das Inverse.

Der Integritätsbereich ${}R$ findet sich in ${}Q(R)$ über die Elemente ${}{\frac {r}{1}}$ wieder. Diese natürliche Inklusion

{}R\subseteq Q(R)\,

ist ein Ringhomomorphismus. Das Element ${}r={\frac {r}{1}}$ hat bei ${}r\neq 0$ das Inverse ${}{\frac {1}{r}}$ . Zwischen ${}R$ und ${}Q(R)$ gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu ${}r\neq 0$ das (eindeutig bestimmte) Inverse ${}{\frac {1}{r}}$ enthalten und dann aber auch alle Produkte ${}s{\frac {1}{r}}={\frac {s}{r}}$ .

Algebraische Erweiterungen

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Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$ -Algebra.

Wenn eine ${}R$ -Algebra vorliegt, so nennt man den zugehörigen Ringhomomorphismus auch den Strukturhomomorphismus. Das vielleicht wichtigste Beispiel einer ${}R$ -Algebra ist der Polynomring ${}R[X]$ . Ein ${}R$ -Algebrahomomorphismus von ${}R[X]$ in eine weitere ${}R$ -Algebra ${}B$ ist durch die Zuordnung ${}X\mapsto f$ gegeben, wobei ${}f\in B$ ein beliebiges fixiertes Element ist. Diese Abbildung nennt man den Einsetzungshomomorphismus. Er schickt ein Polynom ${}\sum _{i=0}^{n}r_{i}X^{i}$ , ${}r_{i}\in R$ , auf ${}\sum _{i=0}^{n}r_{i}f^{i}\in B$ , wobei die ${}r_{i}$ via dem Strukturhomomorphismus als Elemente in ${}B$ aufgefasst werden.

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Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$ - Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$ , wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.

Wenn ein Polynom ${}P\neq 0$ das algebraische Element ${}f\in A$ annulliert (also ${}P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Über einem Körper sind also die Begriffe ganz (siehe weiter unten) und algebraisch äquivalent.

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Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$ - Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$ .

Die über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.

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Eine komplexe Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

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Eine komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist genau dann algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P$ mit rationalen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$ gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl ${}q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms ${}X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen ${}{\sqrt {q}}$ und ${}q^{1/n}$ für ${}q\in \mathbb {Q}$ algebraisch. Dagegen sind die Zahlen ${}e$ und ${}\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von ${}\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

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Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$ . Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Eine ${}K$ -Algebra ${}A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper ${}K$ auffassen (ist ${}K$ kein Körper, so ist eine ${}K$ -Algebra ein ${}K$ -Modul.) Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.

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Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

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Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$ - Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Ein Element ${}f\in L$ einer Körpererweiterung

{}K\subseteq L\,

definiert durch Multiplikation eine ${}K$ -lineare Abbildung

\varphi _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy.

Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von ${}f$ erklärt.

Bemerkung Referenznummer erstellen

Zu einer linearen Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

eines endlichdimensionalen ${}K$ -Vektorraumes ${}V$ in sich wird die Determinante ${}\det(\varphi )$ und die Spur ${}S(\varphi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine ${}K$ - Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische ${}n\times n$ -Matrix

{\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{n,1}&\cdots &\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}

mit ${}\lambda _{ij}\in K$ und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

{}S(\varphi )=\lambda _{1,1}+\lambda _{2,2}+\cdots +\lambda _{n,n}\,

gegeben, und dies ist nach Aufgabe 15.12 ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Determinante der ${}K$ - linearen Abbildung

\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,

die Norm von ${}f$ . Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Spur der ${}K$ - linearen Abbildung

\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,

die Spur von ${}f$ . Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Lemma Referenznummer erstellen

Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),

folgende Eigenschaften:

Es ist ${}N(fg)=N(f)N(g)$ .
Für ${}f\in K$ ist ${}N(f)=f^{n}$ , wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
Es ist ${}N(f)=0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.

Beweis

Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Lemma 8.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).
Zu einer beliebigen Basis von ${}L$ wird die Multiplikation mit einen Element ${}f\in K$ durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ${}f$ ist. Die Determinante ist daher ${}f^{n}$ nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Die eine Richtung ist klar, sei also ${}f\neq 0$ . Dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}L$ und daher ist die Multiplikation mit ${}f$ eine bijektive ${}K$ -lineare Abbildung ${}L\rightarrow L$ , und deren Determinante ist ${}\neq 0$ nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

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Lemma Lemma 15.14 ändern

Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ . Dann hat die Spur

S\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto S(f),

folgende Eigenschaften:

Die Spur ist ${}K$ - linear, also ${}S(f+g)=S(f)+S(g)$ und ${}S(\lambda f)=\lambda S(f)$ für ${}\lambda \in K$ .
Für ${}f\in K$ ist ${}S(f)=nf$ .

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

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Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt einfach, wenn sie von einem Element ${}f$ erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer ${}L$ keinen Körper zwischen ${}K$ und ${}L$ gibt, der ${}f$ enthält. Das Element ${}f$ nennt man dann auch ein primitives Element der Körpererweiterung. Ist ${}L$ endlich und einfach, so ist

{}L=K[f]\cong K[X]/(P)\,,

wobei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ ist.

Satz Satz 15.15 ändern

Sei ${}K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ . Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

{}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.

Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch ${}f$ definierten ${}K$ -linearen Multiplikationsabbildung

\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,

haben beide den Grad ${}n$ . Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Es sei bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}L$ diese lineare Abbildung ${}\mu _{f}$ durch die Matrix ${}{\left(\lambda _{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

{}\chi _{\mu _{f}}=\det {\begin{pmatrix}X-\lambda _{1,1}&\cdots &-\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-\lambda _{n,1}&\cdots &X-\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.

Zum Koeffizienten ${}a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen ${}(n-1)$ -mal die Variable ${}X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich ${}X^{n}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i,i}X^{n-1}+\ldots$ , sodass also ${}a_{n-1}=-S(f)$ gilt. Setzt man in der obigen Gleichung ${}X=0$ , so ergibt sich, dass ${}a_{0}$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus ${}a_{0}=(-1)^{n}N(f)$ folgt.

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Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element ${}x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ interessieren, also in Charakteristik ${}0$ sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel (siehe Aufgabe 15.26), und wir haben den folgenden Satz vom primitiven Element zur Verfügung.