Lokaler regulärer Ring/Homologische Charakterisierung/Textabschnitt
Der folgende Satz heißt Satz von Hilbert-Serre. Von Hilbert ist dabei die graduierte Situation, die wir kurz in Bemerkung erläutern.
Für einen lokalen noetherschen Ring sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist regulär.
- Jeder endliche -Modul besitzt eine endliche projektive Dimension (und zwar ).
- Der Restklassenkörper besitzt endliche projektive Dimension.
. Wir führen Induktion über die Dimension von . Wenn ist, so liegt ein Körper vor, und ein endlicher -Modul ist einfach ein endlichdimensionaler Vektorraum. Diese besitzen eine Basis und sind somit frei, besitzen also die projektive Dimension . Es sei also nun und die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Wir nehmen ein , was es nach dem Lemma von Nakayama geben muss. Nach Fakt ist der Restklassenring ebenfalls regulär und hat kleinere Dimension. Es sei nun ein endlicher -Modul. Wenn frei ist, so ist die Aussage klar. Es sei nicht frei (insbesondere nicht ) und
eine minimale freie Auflösung. Es ist zu zeigen, dass diese endlich ist. Es sei der Kern der Abbildung . Wir schneiden die Auflösung ab und erhalten eine minimale freie Auflösung
Da nicht frei ist, ist nicht der Nullmodul.
Da nach Fakt ein Nichtnullteiler in ist und ein Untermodul eines freien Moduls ist, folgt, dass auch ein Nichtnullteiler für ist. Wir können somit Fakt anwenden und erhalten einen exakten Komplex
Dieser ist eine freie Auflösung des -Moduls . Er ist minimal: Der Rang von ist die minimale Erzeugendenzahl von über und diese ist die -Dimension von , die wiederum die minimale Erzeugendenzahl von über ist. Entsprechend muss man für argumentieren. Nach Induktonsvoraussetzung ist
für ein . Wegen muss dann aber schon
sein.
. Das ist eine Einschränkung.
. Es sei
eine minimale freie Auflösung des Restklassenkörpers. Wir zeigen durch Induktion über , dass regulär ist. Bei wird der exakte Komplex zu
und die Aussage für kleinere bewiesen. Wir betrachten das linke Ende der Auflösung
wobei und frei und nicht sind. Das Bild liegt in wegen der Minimalität und wegen . Wir behaupten, dass kein assoziiertes Primideal von ist. Andernfalls wäre
für ein , , und insbesondere wäre
Dann wäre auch und somit , was aber bei einem freien Modul nicht sein kann. Dies bedeutet nach Fakt, dass einen Nichtnullteiler enthalten muss. Daher ist die Dimension von zumindest . Daher ist die Inklusion
echt und nach Fakt gibt es ein mit . Insbesondere ist ein Nichtnullteiler. Ähnlich wie im Beweis von (1) nach (2) ist dann auch der Komplex (der Kern der nullten Abbildung ist hier das maximale Ideal)
exakt. Da nicht der Restklassenkörper von ist, können wir nicht unmittelbar die Induktionsvoraussetzung anwenden. Unter dem -Modulhomomorphismus
wird genau auf abgebildet, wir haben also eine injektive Abbildung
Wegen können wir zu einem minimalen Erzeugendensystem von ergänzen. Wir behaupten, dass es einen wohldefinierten Modulhomomorphismus
gibt, der linksinvers zur obigen Einbettung ist. Dabei wird ein Element
auf abgebildet. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
eine weitere Darstellung. Dann ist
in und das bedeutet
mit . Wäre , so wäre dies eine Einheit und damit auch . Doch dann könnte man als Linearkombination der ausdrücken im Widerspruch zur Minimalität. Es gibt also eine direkte Zerlegung
mit einem weiteren - (oder -)Modul . Nach Fakt besitzen in einer solchen Situation auch die Summanden eine endliche projektive Dimension, die nicht größer als die projektive Dimension der Summe ist. Somit besitzt also der Restklassenkörper eine endliche projektive Dimension über . Nach Induktionsvoraussetzung ist somit regulär, und seine Dimension ist nach dem Hauptidealsatz um kleiner als die von . Dies gilt auch für die Einbettungsdimension. Somit ist regulär.
Der folgende Satz heißt Satz von Auslander-Buchsbaum-Serre.
Für einen lokalen regulären Ring
ist jede Lokalisierung ebenfalls regulär.
Es sei ein Primideal von . Der Restklassenmodul ist endlich erzeugt, deshalb gibt es nach Fakt (2) eine endliche freie Auflösung
Wir tensorieren diese Sequenz mit der Lokalisierung . Da die Tensorierung mit einer Nenneraufnahme nach Fakt exakt ist, erhalten wir eine endliche freie Auflösung (über )
Wegen
(nach Fakt (2)) ist dies eine freie Auflösung des Restklassenkörpers von . Nach Fakt (3) ist somit regulär.
Die vorstehende Aussage ist ein typisches Beispiel dafür, wie durch die Entwicklung einer neuen Theorie ein zuvor schwieriges Problem „plötzlich“ einfach wird. Ohne die homologische Charakterisierung von regulären Ringen ist der Nachweis dieser Lokalisierungseigenschaft schwierig.
In einem lokalen regulären Ring gibt es für den Restklassenkörper eine explizite endliche Auflösung, die sogenannte Koszul-Auflösung. Für ein minimales Erzeugendensystem
hat sie die Form
wobei sich die Abbildungen links durch gewisse alternierende Produkte der Linearform ergeben.
Zum Polynomring über einem Körper und einem endlich erzeugten graduierten Modul gibt es eine endliche graduierte freie Auflösung, d.h. die freien auflösenden Moduln sind von der Form (im Sinne von Definition)
und die Modulhomomorphismen sind homogen.
Die Lokalisierung an einem Primideal kann regulär sein, ohne dass der Ausgangsring regulär ist. In der Tat ist das ein sehr häufiges und typisches Verhalten. Wenn beispielsweise ein Integritätsbereich ist, so ist die Lokalisierung am Primideal
der Quotientenkörper von , und als Körper stets regulär. In einer Primidealkette
gibt es somit ein größtes Primideal, das regulär ist (dieses kann gleich sein). Wenn nämlich regulär ist, so ist für eine Lokalisierung von und somit nach Fakt selbst regulär.