Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Trägheitssatz/Kriterien/Textabschnitt

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Definition  

Eine Sesquilinearform auf einem komplexen Vektorraum heißt hermitesch, wenn

für alle ist.

Aus dieser Bedingung folgt sofort, dass bei der Wert reell ist.


Definition  

Es sei ein -Vektorraum

mit einer hermiteschen Sesquilinearform . Diese Form heißt

  1. positiv definit, wenn für alle , ist.
  2. negativ definit, wenn für alle , ist.
  3. positiv semidefinit, wenn für alle ist.
  4. negativ semidefinit, wenn für alle ist.
  5. indefinit, wenn weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer hermiteschen Form . Man sagt, dass eine solche Form den Typ

besitzt, wobei

und

ist.



Satz  

Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform vom Typ .

Dann ist die Gramsche Matrix von bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit positiven reellen und negativen reellen Einträgen.

Beweis  

Bezüglich einer Orthogonalbasis von (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt, wobei die Diagonaleinträge reell sind. Es sei die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten Diagonaleinträge positiv, die folgenden Diagonaleinträge negativ und die übrigen seien. Auf dem -dimensionalen Unterraum ist die eingeschränkte Sesquilinearform positiv definit, so dass gilt. Sei , auf diesem Unterraum ist die Sesquilinearform negativ semidefinit. Dabei ist , und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum , auf dem die Sesquilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension größer als ist. Die Dimension von ist und daher ist nach Fakt.

Für einen Vektor , , ergibt sich aber direkt der Widerspruch und .




Satz  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei eine hermitesche Form auf , die dem selbstadjungierten Endomorphismus

im Sinne von Fakt entspricht. Es sei der Typ von .

Dann ist die Anzahl der positiven Eigenwerte und die Anzahl der negativen Eigenwerte von , wobei man diese Anzahl mit der (algebraischen oder geometrischen) Vielfachheit nehmen muss.

Beweis  

Nach Fakt zerfällt das charakteristische Polynom von in reelle Linearfaktoren. Es seien die positiven Nullstellen und die negativen Nullstellen. Nach Fakt liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung

vor (wobei der Nullraum sein kann). Für Vektoren und aus verschiedenen Eigenräumen ist

so dass die Eigenräume auch bezüglich der Form orthogonal sind. Für

mit ist

Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form positiv definit, so dass

ist. Wäre echt größer als diese Dimension, so würde es einen -dimensionalen Untervektorraum derart geben, dass die Einschränkung von darauf positiv definit ist und so, dass nach Fakt

ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form negativ semidefinit ist. Also ist

Die Argumentation für verläuft gleich.


Mit den Eigenwerten ist auch die Determinante und das charakteristische Polynom der Gramschen Matrix zu einer hermiteschen Sesquilinearform reell. Die Hauptminoren sind also reelle Zahlen und wir erhalten auch über das Minorenkriterium.



Satz  

Sei eine hermitesche Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

seien für von verschieden. Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

Dann ist vom Typ .

Beweis  

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ist, ist nach Aufgabe die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form . Wir müssen zeigen, dass ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von , wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension bewiesen und es liege ein -dimensionaler Raum mit einer Basis mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

hat die Dimension und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt den Typ , wobei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

da ein -dimensionaler Untervektorraum , auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

führt, der die Dimension oder besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ist das Vorzeichen von gleich und das Vorzeichen von gleich . Das bedeutet, dass zwischen und ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit ) genau dann vorliegt, wenn

ist.