Bezüglich einer
Orthogonalbasis von
(die es nach
Fakt
gibt)
hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt, wobei die Diagonaleinträge reell sind. Es sei die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten Diagonaleinträge positiv, die folgenden Diagonaleinträge negativ und die übrigen seien. Auf dem -dimensionalen Unterraum
ist die eingeschränkte Sesquilinearform
positiv definit,
sodass
gilt.
Sei
,
auf diesem Unterraum ist die Sesquilinearform
negativ semidefinit.
Dabei ist
,
und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum , auf dem die Sesquilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension größer als ist. Die Dimension von ist und daher ist
nach
Fakt.
Für einen Vektor
, ,
ergibt sich aber direkt der Widerspruch
und
.
im Sinne von
Fakt
entspricht. Es sei der
Typ
von .
Dann ist die Anzahl der
positivenEigenwerte
und die Anzahl der negativen Eigenwerte von , wobei man diese Anzahl mit der
(algebraischen
oder
geometrischen)
Vielfachheit nehmen muss.
Nach
Fakt
zerfällt das
charakteristische Polynom
von in reelle Linearfaktoren. Es seien die positiven Nullstellen und
die negativen Nullstellen. Nach
Fakt
liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung
vor
(wobei der Nullraum sein kann).
Für Vektoren
und
aus verschiedenen Eigenräumen ist
sodass die Eigenräume auch bezüglich der Form orthogonal sind. Für
mit
ist
Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form
positiv definit,
sodass
ist. Wäre echt größer als diese Dimension, so würde es einen -dimensionalen Untervektorraum
derart geben, dass die Einschränkung von darauf positiv definit ist und so, dass nach
Fakt
ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form negativ semidefinit ist. Also ist
Die Argumentation für verläuft gleich.
Mit den Eigenwerten ist auch die Determinante und das charakteristische Polynom der Gramschen Matrix zu einer hermiteschen Sesquilinearform reell. Die Hauptminoren sind also reelle Zahlen und wir erhalten auch über das Minorenkriterium.
Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ist, ist nach
Aufgabe
die Bilinearform
nicht ausgeartet
und daher hat der Typ die Form . Wir müssen zeigen, dass
ist.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von , wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension bewiesen und es liege ein -dimensionaler Raum mit einer Basis mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der
Untervektorraum
hat die Dimension und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der
Gramschen Matrix
zur eingeschränkten Form stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied
weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt den Typ , wobei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
da ein -dimensionaler Untervektorraum
,
auf dem die Bilinearform
negativ definit
ist, zu einem Untervektorraum
führt, der die Dimension
oder
besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach
Aufgabe
ist das Vorzeichen von gleich und das Vorzeichen von gleich . Das bedeutet, dass zwischen
und
ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel
(und somit
)
genau dann vorliegt, wenn