Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Einführung/Textabschnitt

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Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und . Wir konstruieren das sogenannte -te Dachprodukt von mit sich selbst, geschrieben . Dazu betrachten wir die Menge aller Symbole der Form

und die zugehörige Menge der . Wir betrachten den Vektorraum

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

die bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes (es handelt sich bei um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente den Wert haben). In betrachten wir den Untervektorraum , der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

für beliebige .

für beliebige und .

für und beliebige .

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

d.h. man bildet den Restklassenraum von modulo dem Unterraum .



Lemma  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

  1. Die Elemente der Form mit bilden ein Erzeugendensystem von .
  2. Die Abbildung

    ist multilinear und alternierend.

  3. Es ist
  4. Seien gegeben und seien

    für . Dann ist

Beweis  

(1) folgt direkt aus der Konstruktion.
(2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung

vor, wobei auf und dies auf die Restklasse abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums , dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.

(3) gilt nach Fakt für jede alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach Fakt für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel ein Eintrag wiederholt, so ist wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich





Korollar  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Vektoren in , die miteinander in der Beziehung

stehen, wobei eine -Matrix bezeichnet.

Dann gilt in die Beziehung

Beweis  

Mit ist und mit der transponierten Matrix ist . Damit sind wir in der Notation von Fakt  (4) und es gilt

da dann sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.




Satz  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und . Es sei

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren -Vektorraum .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

derart, dass das Diagramm

kommutiert.

Beweis  

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung

wird nach Fakt eine -lineare Abbildung

definiert. Da multilinear und alternierend ist, wird unter der Untervektorraum auf abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine -lineare Abbildung

die mit verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ein Erzeugendensystem von bilden und diese auf abgebildet werden müssen.




Korollar  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

Beweis  

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung , wobei die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Fakt, angewendet auf .




Satz  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension . Es sei eine Basis von und es sei .

Dann bilden die Dachprodukte

eine Basis von .

Beweis  

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.  Da die Elemente der Form nach Fakt  (1) ein Erzeugendensystem von bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes gibt es eine Darstellung , daher kann man nach Fakt  (4) die als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Sei also gegeben mit . Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Fakt  (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Fakt  (2) das Dachprodukt . Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Fakt, dass es zu jeder -elementigen Teilmenge (mit ) eine -lineare Abbildung

gibt, die nicht auf abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf abbildet. Dazu genügt es nach Fakt, eine alternierende multilineare Abbildung

anzugeben mit , aber mit für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei der von den , , erzeugte Untervektorraum von und der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der , , eine Basis von , und die Bilder von allen anderen -Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung

Diese Abbildung ist nach Fakt multilinear und nach Fakt alternierend. Nach Fakt ist genau dann, wenn die Bilder von in keine Basis bilden.


Bei mit der Standardbasis nennt man die  mit die Standardbasis von .



Korollar  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension .

Dann besitzt das -te äußere Produkt die Dimension

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.

Insbesondere ist die äußere Potenz für eindimensional (es ist ) und für -dimensional (es ist ). Für ist eindimensional, und die Determinante induziert (nach einer Identifizierung von mit ) einen Isomorphismus

Für sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension .