Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und . Wir konstruieren das sogenannte -te Dachprodukt von mit sich selbst, geschrieben . Dazu betrachten wir die Menge aller Symbole der Form
-
und die zugehörige Menge der . Wir betrachten den Vektorraum
-
das ist die Menge aller
(endlichen)
Summen
-
die bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes
(es handelt sich bei um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente den Wert haben).
In betrachten wir den Untervektorraum , der von den folgenden Elementen erzeugt wird
(die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).
-
für beliebige .
-
für beliebige und .
-
für und beliebige .
Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.
Man setzt nun
-
d.h. man bildet den
Restklassenraum
von modulo dem Unterraum .
Es sei ein
Körper
und ein
-Vektorraum. Dann gelten für die
äußeren Potenzen
folgende Aussagen.
- Die Elemente der Form mit bilden ein
Erzeugendensystem
von .
- Die Abbildung
-
ist
multilinear
und
alternierend.
- Es ist
-
- Es seien gegeben und seien
-
für . Dann ist
(1) folgt direkt aus der
Konstruktion.
(2). Es liegt die
zusammengesetzte
Abbildung
-
vor, wobei
auf
und dies auf die Restklasse
abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums
, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.
(3) gilt nach
Fakt
für jede
alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach
Fakt
für jede
multilineare Abbildung.
Wenn sich in dem Indextupel ein Eintrag wiederholt, so ist
wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich
-
Es sei ein
Körper
und ein
-Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
Vektoren in , die miteinander in der Beziehung
-
stehen, wobei eine
-Matrix
bezeichnet.
Dann gilt in die Beziehung
-
Wir verwenden die Notation aus
Fakt. Durch die Zuordnung
-
wird nach
Fakt
eine
-lineare Abbildung
-
definiert. Da
multilinear
und
alternierend
ist, wird unter der
Untervektorraum
auf abgebildet. Nach
Fakt
gibt es daher eine -lineare Abbildung
-
die mit verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ein
Erzeugendensystem
von bilden und diese auf abgebildet werden müssen.
Es sei ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und .
Dann gibt es eine
natürliche
Isomorphie
-
Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Da die Elemente der Form nach
Fakt (1)
ein
Erzeugendensystem
von bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes gibt es eine Darstellung , daher kann man nach
Fakt (4)
die als
Linearkombinationen
von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also gegeben mit . Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach
Fakt (3)
(unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens)
erreichen, dass die Indizes
(nicht notwendigerweise streng)
aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach
Fakt (2)
das Dachprodukt . Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.
Zum Nachweis der
linearen Unabhängigkeit
zeigen wir unter Verwendung von
Fakt,
dass es zu jeder -elementigen Teilmenge
(mit )
eine -lineare Abbildung
-
gibt, die nicht auf abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf abbildet. Dazu genügt es nach
Fakt,
eine
alternierende
multilineare Abbildung
-
anzugeben mit
,
aber mit
für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei der von den
, ,
erzeugte Untervektorraum
von und
der
Restklassenraum.
Dann bilden die Bilder der
, ,
eine Basis von , und die Bilder von allen anderen -Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf geht. Wir betrachten nun die
zusammengesetzte
Abbildung
-
Diese Abbildung ist nach
Fakt
multilinear und nach
Fakt
alternierend. Nach
Fakt
ist genau dann, wenn die Bilder von in keine Basis bilden.
Bei mit der Standardbasis nennt man die
mit die Standardbasis von .
Insbesondere ist die äußere Potenz für eindimensional
(es ist ) und für -dimensional
(es ist ). Für ist eindimensional, und die
Determinante
induziert
(nach einer Identifizierung von mit )
einen
Isomorphismus
-
Für sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension .