Es sei
ein Körper,
ein
-Vektorraum und
.
Wir konstruieren das sogenannte
-te Dachprodukt von
mit sich selbst, geschrieben
. Dazu betrachten wir die Menge
aller Symbole der Form
-
und die zugehörige Menge der
. Wir betrachten den Vektorraum
-

das ist die Menge aller
(endlichen)
Summen
-
die
bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes
(es handelt sich bei
um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente
den Wert
haben).
In
betrachten wir den Untervektorraum
, der von den folgenden Elementen erzeugt wird
(die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).
-
für beliebige
.
-
für beliebige
und
.
-
für
und beliebige
.
Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu
macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.
Man setzt nun
-

d.h. man bildet den
Restklassenraum
von
modulo dem Unterraum
.
Es sei
ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Dann gelten für die
äußeren Potenzen
folgende Aussagen.
- Die Elemente der Form
mit
bilden ein
Erzeugendensystem
von
.
- Die Abbildung
-
ist
multilinear
und
alternierend.
- Es ist
-

- Es seien
gegeben und seien
-

für
.
Dann ist

(1) folgt direkt aus der
Konstruktion.
(2). Es liegt die
zusammengesetzte
Abbildung
-
vor, wobei

auf

und dies auf die Restklasse

abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums

, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.
(3) gilt nach
Fakt
für jede
alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach
Fakt
für jede
multilineare Abbildung.
Wenn sich in dem Indextupel
ein Eintrag wiederholt, so ist
wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form
gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich
-


Es sei
ein
Körper
und
ein
-Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
Vektoren in
, die miteinander in der Beziehung
-

stehen, wobei
eine
-Matrix
bezeichnet.
Dann gilt in
die Beziehung
-


Wir verwenden die Notation aus
Fakt. Durch die Zuordnung
-
wird nach
Fakt
eine
-lineare Abbildung
-
definiert. Da
multilinear
und
alternierend
ist, wird unter
der
Untervektorraum
auf
abgebildet. Nach
Fakt
gibt es daher eine
-lineare Abbildung
-
die mit
verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die
ein
Erzeugendensystem
von
bilden und diese auf
abgebildet werden müssen.

Es sei
ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
.
Dann gibt es eine
natürliche
Isomorphie
-

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Da die Elemente der Form
nach
Fakt (1)
ein
Erzeugendensystem
von
bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes
gibt es eine Darstellung
,
daher kann man nach
Fakt (4)
die
als
Linearkombinationen
von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also
gegeben mit
.
Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach
Fakt (3)
(unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens)
erreichen, dass die Indizes
(nicht notwendigerweise streng)
aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach
Fakt (2)
das Dachprodukt
. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.
Zum Nachweis der
linearen Unabhängigkeit
zeigen wir unter Verwendung von
Fakt,
dass es zu jeder
-elementigen Teilmenge
(mit
)
eine
-lineare Abbildung
-
gibt, die
nicht auf
abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf
abbildet. Dazu genügt es nach
Fakt,
eine
alternierende
multilineare Abbildung
-
anzugeben mit
,
aber mit
für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei
der von den
,
,
erzeugte Untervektorraum
von
und
der
Restklassenraum.
Dann bilden die Bilder der
,
,
eine Basis von
, und die Bilder von allen anderen
-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf
geht. Wir betrachten nun die
zusammengesetzte
Abbildung
-
Diese Abbildung ist nach
Fakt
multilinear und nach
Fakt
alternierend. Nach
Fakt
ist
genau dann, wenn die Bilder von
in
keine Basis bilden.

Bei
mit der Standardbasis
nennt man die
mit
die Standardbasis von
.

Insbesondere ist die äußere Potenz für
eindimensional
(es ist
)
und für
-dimensional
(es ist
). Für
ist
eindimensional, und die
Determinante
induziert
(nach einer Identifizierung von
mit
)
einen
Isomorphismus
-
Für
sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension
.